x^3+y^3=91\ を満たす整数x,\ yの組を求めよ.$ \ \ .1zw}{\normalsize $[\,明治大\,]$}
$(2)\ \ x^3-y^3=217\ を満たす整数x,\ yの組を求めよ.$ {\normalsize $[\,京都大\,]$}
$(3)\ \ x^3-y^3=117\ を満たす整数x,\ yの組を求めよ.$ \\
^3± y^3=k型の不定方程式$
因数分解で$(文字式)×(文字式)=(整数)$の形にして,\ 組合せをしらみつぶしすれば解ける.
しかし,\ 候補が多いと時間的に厳しくなるので,\ 絞り込みの発想を習得しておいて欲しい.
積が91になる組合せは全部で8組あり,\ しらみつぶしするのは面倒である.
少なくとも,\ 平方完成により常にx^2-xy+y^2≧0である}ことに気付きたい.
4組ならばしらみつぶしも面倒ではないが,\ 因数の差を求める}ことでさらに絞り込める.
2次式になるので,\ 平方完成してみると差は-1以上}であることがわかる.
連立では,\ 2式が対称式(xとyを入れ替えても変わらない式)であることを利用する}と簡潔に済む.
以下のようにして,\ 対称性を保ったまま連立方程式を解くことができる.
まず,\ 基本対称式x+yとxyの値を求める.
基本対称式をなす2数x,\ yを求めるには,\ x,\ yを解にもつ2次方程式を作成する.}
x,\ yを解にもつ2次方程式の1つは(t-x)(t-y)=0,\ つまりt^2-(x+y)t+xy=0である.
後はx+yとxyの値を代入して2次方程式を解くと,\ x,\ yの値が求まったことになる.
この方法がわかりにくいならば,\ 連立方程式の原則に従い1文字消去}すればよい.
例えば,\ x+y=1をy=-\,x+1としてx^2-xy+y^2=91に代入すると普通の2次方程式になる.
$x,\ yはt^2-(x+y)t+xy=0の2解である.$
$x,\ yが実数であるためには
因数の差ではなく,\ 実数解条件によって絞り込むこともできる.
(x+y,\ xy)を求め2次方程式を作成した後,\ 実数解条件(判別式)によって絞り込む.}
本質的には(1)と同様だが,\ xとyの対称式ではないので後半は同様にはいかない.
ただし,\ xと-yの対称式と考える}と,\ (1)と同様の手法が可能になる.
まぎらわしいと感じるならば,\ 1文字消去して求めれば何の問題もない.
(2)のようにx^2+xy+y^2\,を平方完成してもよいが,の利用も有効である.
12組が6組に絞られる.\ さらに,\ 因数の差の考慮すると3組になる.
加えて,\ 2次の因数x^2+xy+y^2\,と1次の因数x-yの2乗の差を調べてみる.}
x^2,\ y^2\,が消えて簡単になりそうなので,\ 試しにやってみたわけである.
すると,\ 差が3の倍数である}ことがわかり,\ 結局1組にまで絞られる.
$(2)\ \ x^3-y^3=217\ を満たす整数x,\ yの組を求めよ.$ {\normalsize $[\,京都大\,]$}
$(3)\ \ x^3-y^3=117\ を満たす整数x,\ yの組を求めよ.$ \\
^3± y^3=k型の不定方程式$
因数分解で$(文字式)×(文字式)=(整数)$の形にして,\ 組合せをしらみつぶしすれば解ける.
しかし,\ 候補が多いと時間的に厳しくなるので,\ 絞り込みの発想を習得しておいて欲しい.
積が91になる組合せは全部で8組あり,\ しらみつぶしするのは面倒である.
少なくとも,\ 平方完成により常にx^2-xy+y^2≧0である}ことに気付きたい.
4組ならばしらみつぶしも面倒ではないが,\ 因数の差を求める}ことでさらに絞り込める.
2次式になるので,\ 平方完成してみると差は-1以上}であることがわかる.
連立では,\ 2式が対称式(xとyを入れ替えても変わらない式)であることを利用する}と簡潔に済む.
以下のようにして,\ 対称性を保ったまま連立方程式を解くことができる.
まず,\ 基本対称式x+yとxyの値を求める.
基本対称式をなす2数x,\ yを求めるには,\ x,\ yを解にもつ2次方程式を作成する.}
x,\ yを解にもつ2次方程式の1つは(t-x)(t-y)=0,\ つまりt^2-(x+y)t+xy=0である.
後はx+yとxyの値を代入して2次方程式を解くと,\ x,\ yの値が求まったことになる.
この方法がわかりにくいならば,\ 連立方程式の原則に従い1文字消去}すればよい.
例えば,\ x+y=1をy=-\,x+1としてx^2-xy+y^2=91に代入すると普通の2次方程式になる.
$x,\ yはt^2-(x+y)t+xy=0の2解である.$
$x,\ yが実数であるためには
因数の差ではなく,\ 実数解条件によって絞り込むこともできる.
(x+y,\ xy)を求め2次方程式を作成した後,\ 実数解条件(判別式)によって絞り込む.}
本質的には(1)と同様だが,\ xとyの対称式ではないので後半は同様にはいかない.
ただし,\ xと-yの対称式と考える}と,\ (1)と同様の手法が可能になる.
まぎらわしいと感じるならば,\ 1文字消去して求めれば何の問題もない.
(2)のようにx^2+xy+y^2\,を平方完成してもよいが,の利用も有効である.
12組が6組に絞られる.\ さらに,\ 因数の差の考慮すると3組になる.
加えて,\ 2次の因数x^2+xy+y^2\,と1次の因数x-yの2乗の差を調べてみる.}
x^2,\ y^2\,が消えて簡単になりそうなので,\ 試しにやってみたわけである.
すると,\ 差が3の倍数である}ことがわかり,\ 結局1組にまで絞られる.
