分数式f(x)/g(x)が整数となる条件

最も基本的な例として,\ (分子が定数)が整数となる条件$を考えよう.  「分母が4の約数」が条件  この2題で,\ 分数が整数になる条件を考えるときの発想を3つ学んで欲しい. 整数問題に限らず,\ 分数式は{分子の次数を分母より低くする}のが基本である. 分母が1次式ならば,\ 必ず分子は定数にできるので,\ 結局上の例に帰着する. 2次方程式の解の公式よD/4=0または(平方数)}不適である.分子}分母  本解は,\ {整数を文字でおいて分母を払い,\ 2次の不定方程式に帰着させた.} 整数はそれ以前に実数であるから,\ 実数解条件によって絞り込む. さらに,\ 整数であるための必要条件「D=0または平方数」によって絞り込む. さて,\ 常に2次方程式に帰着するとは限らないので,\ 別解の考え方も重要である. 本問は,\ 分子が1次,\ 分母が2次}であるが,\ 一般に2次の方が値が大きくなる. しかし,\ 分子より分母の方が大きいと整数になるはずはない. とすると,\ xはあまり大きな値はとれないはずである.\ これを利用して絞り込む. つまり,\ {整数であるためには,\ 分子}分母}が必要である}ことを利用する. ただし,\ {(分子)=0のときの(与式)=0\ (整数)だけは,\ 最初に場合分けする.} なお,\ 分子}分母}は,\ 分子}{分母1}と考えてもよい. {0以外の整数は,\ 全て絶対値が1以上である}ことを意味している. 結局,\ 絶対値付きの不等式に帰着する. 本問では,\ 右辺の絶対値は,\ 中身が平方完成によって常に正とわかり,\ 外れる. 左辺の絶対値は,\ 中身が正か負かで場合分けをして外すことになる.
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