x^2=2^y+1\ を満たす自然数x,\ yの組を求めよ.$
(2)\ \ $x^3=3^y-1\ を満たす自然数x,\ yの組を求めよ.$ \\
指数関数を含む不定方程式$
不定方程式は,\ $指数関数:(定数)^{(変数)$が含まれていると難易度が高くなる.
次の不定方程式の2大解法だけでは求まらないことが多くなるからである.
「不等式を作って絞り込む」「\,$(文字式)×(文字式)=(具体的な整数)$の形を作る」}
この場合,\ 第3の解法「余りに着目する」が必要になる.
また,\ 以下の論理展開が必要になることが多い.
この論理展開は,\ 不定方程式に限らず,\ 整数問題全般において重要である.
[1]\ \ 判明した性質を,\ 自分で文字を設定}して数式に反映する.
元からある文字を消去}し, 自分が設定した文字の条件を追求する.
さらに,\ 本項の不定方程式に限ると有名な背景があるので,\ 先に紹介しておく.
カタラン予想x^m-y^n=1}$を満たす正の整数は$(x,\ y,\ m,\ n)=(3,\ 2,\ 2,\ 3)}$に限られる.
これは,\ 差が1になる正の累乗数のペアは$3^2=9と2^3=8}$のみであることを意味する.
カタランが予想し(1844年),\ 158年後の2002年にミハイレスクによって証明された.
大学入試では,\ $x,\ y,\ m,\ n$のうちの2文字が最初から特定された形で出題される.
出題方法は様々で,\ どの文字が特定されているかで難易度が変わる.偶奇が一致}する.$ \
2^y\,は具体的な整数ではないが,\ 素因数がわかる(のとき2のみ)ので同様の手法が通用する.
因数分解し,\ 各因数の範囲や因数の差を確認する.
因数x+1とx-1の差が偶数より両者は偶奇が一致する.\ よって,\ 2^y×1となる可能性はない.
この後,\ 上で述べたような論理展開をできるかが問われる.
[1]\ \ x+1,\ x-1がいずれも2の累乗数だと判明したので,\ 自分で2^a,\ 2^b\,と設定する.}
[2]\ \ 元からある文字xを消去し,\ 自分で設定した文字a,\ bの条件を追求する.}
結局,\ aとbに関する不定方程式に帰着する.
(文字式)×(文字式)=(具体的整数)の形を作れることに気付ければ後は容易である.
因数分解を難しく感じるかもしれないが,\ 2^7-2^3=2^3(2^4-1)と同じようにしただけである.
指数が小さい方をくくり出す}ことで括弧内が分数にならずに済む.\ \ a>bがここで生きる.
仮に2^{a-1}(1-2^{b-a})としてしまうと,\ 2^{b-a}\,が分数になってしまう.
具体的には,\ 2^7-2^3=2^7-.2zw}1-1}{2^4}としたのと同じことである.
(整数)×(整数)=1だからこそ,\ 1×1=1と断定できるのである.
(整数)×(分数)=1では,\ 2×12=1など無限の組合せがありえてしまう.
整数問題で因数分解するとき,\ 括弧内が整数にならなければ意味がない.}
そのためにも,\ あらかじめa>bを確認しておく}ことが非常に重要なのである.
なお,\ nの値によらずn^0=1である(数II}).
2^y=2,\ 4,\ 8,\ 16,\ ･･･\,より,\ 因数x+1,\ x-1の差が2の時点で実は2,\ 4の組合せしかない.
よって,\ 2^a,\ 2^b\,などとせずとも,\ x+1=4,\ x-1=2より直ちにx=3が求められる.
常に差が定数になるとは限らないので,\ ここではより汎用性が高い方法を示しておいた.
別解は,\ 余りに着目する}ものである.
何で割ったときの余りに着目すべきかは問題によって異なり,\ 問題ごとに試行錯誤するしかない.
2,\ 3,\ 4で割ったときの余りに着目すべき問題が特に多く,\ 本問は2で割った余りに着目}すれば済む.
2で割ったときの余りであれば,\ 偶数か奇数か}でとらえるのが直感的にわかりやすいだろう.
[1]\ \ xが奇数であることが判明する}ので,\ 自分で文字で設定する.}
[2]\ \ 元からある文字xを消去し,\ 自分で設定した文字kの条件を追求する.}
x=1,\ 2,\ ･･･\,より,\ kを0以上の整数としてx=2k+1とおいてもよい.
4k(k-1)=2^y\,は,\ y=1のとき2^y=2より,\ 4で割ると分数になってしまうので場合分けする.
隣り合う2整数の偶奇は一致しない}から,\ 2^a\,と2^b\ の組合せになる可能性はない.
因数の大小関係も考慮すると,\ 結局考えられる組合せは1通りになる.
しかも,\ y=2のとき2^{y-2}=1より,\ y≧3である.
本質的には(1)と同様だが,\ 3次式になった分だけ複雑である.
(x-1)^2-1は,\ x=1のとき負,\ x≧2のとき0以上となるから,\ 場合分けする.
xを消去して整理すると,\ 3^{2a-1},\ 3^{a-1},\ 3^{b-1}\,が現れる.
a≦ bは確定しているので,\ 2aとbを大小比較する必要がある.
(x+1)^2=3^{2a},\ x^2-2x+1=3^b\,の差を計算することにより,\ 2a>bであるとわかる.
よって,\ 指数が最も小さい3^{a-1}\,をくくり出す}ことになる.
3^y-1=(3^y-3)+2=(3の倍数)+2
結論からいえば,\ x^3\,が3で割ると2余る数であるとき,\ xも3で割ると2余る数である.
ただし,\ 偶数・奇数の場合とは異なり,\ これを自明とするのは無理がある.
xを3で割ったときの余りで場合分けして証明しなければならない.}
3で割ると2余る数は3k+2と設定してもよいが,\ x=3k-1と設定すると後の計算が楽になる.
基本的には,\ (k,\ 3k^2-3k+1)=(3^{y-2},\ 1)となるはずである.
ただし,\ y=2のときは(k,\ 3k^2-3k+1)=(1,\ 3^{y-2})=(1,\ 1)となりうるため,\ 場合分けをした.
(1)\ \ 偶数であることの証明ということで2で割ったときの余りに着目してみるも,\ うまくいかない.
\ \ mが偶数であれ奇数であれ,\ 3^m\,が奇数であることに変わりないからである.
\ \ 偶奇を考えるとき,\ 2で割ったときの余りで駄目ならば,\ 2^2=4で割ったときの余りを考える.}
\ \ 余りが2択から4択になり,\ より深く性質を探ることができるようになる.
\ \ 本問は背理法}を用いると簡潔に済む.
\ \ mが奇数であると仮定すると矛盾が生じる}ことを示せばよい.
\ \ 合同式}を用いて記述すると簡潔に済む.\ 合同式を用いない場合は記述がかなり面倒になる.
\ \ 合同式については簡潔な説明に留めるので,\ 詳しくは整数カテゴリで確認してほしい.
\ \ 「\,9と1は4で割ったときの余りが等しい」を合同式で表すと9≡1±od4}となる.
\ \ また,\ n≧2より2^n\,は4の倍数であるから,\ 2^n≡0±od4}である.
\ \ 合同式の≡ は,\ 基本的には普段の=と同じ感覚で使用できる.}
\ \ こうして,\ 3^m-2^n\,を4で割ったときの余りが3}であることがわかる(=1に矛盾).
\ \ mが奇数で矛盾する時点でmは偶数といえるが,\ 一応mが偶数のときを確認すると次となる.
\ \ m=2kのとき 3^m-2^n=3^{2k}-2^n=9^k-2^n≡1^k-0≡1\ ±od4
(2)\ \ mが偶数という前提さえあれば,\ 実にあっさりと求められる.
(2)\ \ $x^3=3^y-1\ を満たす自然数x,\ yの組を求めよ.$ \\
指数関数を含む不定方程式$
不定方程式は,\ $指数関数:(定数)^{(変数)$が含まれていると難易度が高くなる.
次の不定方程式の2大解法だけでは求まらないことが多くなるからである.
「不等式を作って絞り込む」「\,$(文字式)×(文字式)=(具体的な整数)$の形を作る」}
この場合,\ 第3の解法「余りに着目する」が必要になる.
また,\ 以下の論理展開が必要になることが多い.
この論理展開は,\ 不定方程式に限らず,\ 整数問題全般において重要である.
[1]\ \ 判明した性質を,\ 自分で文字を設定}して数式に反映する.
元からある文字を消去}し, 自分が設定した文字の条件を追求する.
さらに,\ 本項の不定方程式に限ると有名な背景があるので,\ 先に紹介しておく.
カタラン予想x^m-y^n=1}$を満たす正の整数は$(x,\ y,\ m,\ n)=(3,\ 2,\ 2,\ 3)}$に限られる.
これは,\ 差が1になる正の累乗数のペアは$3^2=9と2^3=8}$のみであることを意味する.
カタランが予想し(1844年),\ 158年後の2002年にミハイレスクによって証明された.
大学入試では,\ $x,\ y,\ m,\ n$のうちの2文字が最初から特定された形で出題される.
出題方法は様々で,\ どの文字が特定されているかで難易度が変わる.偶奇が一致}する.$ \
2^y\,は具体的な整数ではないが,\ 素因数がわかる(のとき2のみ)ので同様の手法が通用する.
因数分解し,\ 各因数の範囲や因数の差を確認する.
因数x+1とx-1の差が偶数より両者は偶奇が一致する.\ よって,\ 2^y×1となる可能性はない.
この後,\ 上で述べたような論理展開をできるかが問われる.
[1]\ \ x+1,\ x-1がいずれも2の累乗数だと判明したので,\ 自分で2^a,\ 2^b\,と設定する.}
[2]\ \ 元からある文字xを消去し,\ 自分で設定した文字a,\ bの条件を追求する.}
結局,\ aとbに関する不定方程式に帰着する.
(文字式)×(文字式)=(具体的整数)の形を作れることに気付ければ後は容易である.
因数分解を難しく感じるかもしれないが,\ 2^7-2^3=2^3(2^4-1)と同じようにしただけである.
指数が小さい方をくくり出す}ことで括弧内が分数にならずに済む.\ \ a>bがここで生きる.
仮に2^{a-1}(1-2^{b-a})としてしまうと,\ 2^{b-a}\,が分数になってしまう.
具体的には,\ 2^7-2^3=2^7-.2zw}1-1}{2^4}としたのと同じことである.
(整数)×(整数)=1だからこそ,\ 1×1=1と断定できるのである.
(整数)×(分数)=1では,\ 2×12=1など無限の組合せがありえてしまう.
整数問題で因数分解するとき,\ 括弧内が整数にならなければ意味がない.}
そのためにも,\ あらかじめa>bを確認しておく}ことが非常に重要なのである.
なお,\ nの値によらずn^0=1である(数II}).
2^y=2,\ 4,\ 8,\ 16,\ ･･･\,より,\ 因数x+1,\ x-1の差が2の時点で実は2,\ 4の組合せしかない.
よって,\ 2^a,\ 2^b\,などとせずとも,\ x+1=4,\ x-1=2より直ちにx=3が求められる.
常に差が定数になるとは限らないので,\ ここではより汎用性が高い方法を示しておいた.
別解は,\ 余りに着目する}ものである.
何で割ったときの余りに着目すべきかは問題によって異なり,\ 問題ごとに試行錯誤するしかない.
2,\ 3,\ 4で割ったときの余りに着目すべき問題が特に多く,\ 本問は2で割った余りに着目}すれば済む.
2で割ったときの余りであれば,\ 偶数か奇数か}でとらえるのが直感的にわかりやすいだろう.
[1]\ \ xが奇数であることが判明する}ので,\ 自分で文字で設定する.}
[2]\ \ 元からある文字xを消去し,\ 自分で設定した文字kの条件を追求する.}
x=1,\ 2,\ ･･･\,より,\ kを0以上の整数としてx=2k+1とおいてもよい.
4k(k-1)=2^y\,は,\ y=1のとき2^y=2より,\ 4で割ると分数になってしまうので場合分けする.
隣り合う2整数の偶奇は一致しない}から,\ 2^a\,と2^b\ の組合せになる可能性はない.
因数の大小関係も考慮すると,\ 結局考えられる組合せは1通りになる.
しかも,\ y=2のとき2^{y-2}=1より,\ y≧3である.
本質的には(1)と同様だが,\ 3次式になった分だけ複雑である.
(x-1)^2-1は,\ x=1のとき負,\ x≧2のとき0以上となるから,\ 場合分けする.
xを消去して整理すると,\ 3^{2a-1},\ 3^{a-1},\ 3^{b-1}\,が現れる.
a≦ bは確定しているので,\ 2aとbを大小比較する必要がある.
(x+1)^2=3^{2a},\ x^2-2x+1=3^b\,の差を計算することにより,\ 2a>bであるとわかる.
よって,\ 指数が最も小さい3^{a-1}\,をくくり出す}ことになる.
3^y-1=(3^y-3)+2=(3の倍数)+2
結論からいえば,\ x^3\,が3で割ると2余る数であるとき,\ xも3で割ると2余る数である.
ただし,\ 偶数・奇数の場合とは異なり,\ これを自明とするのは無理がある.
xを3で割ったときの余りで場合分けして証明しなければならない.}
3で割ると2余る数は3k+2と設定してもよいが,\ x=3k-1と設定すると後の計算が楽になる.
基本的には,\ (k,\ 3k^2-3k+1)=(3^{y-2},\ 1)となるはずである.
ただし,\ y=2のときは(k,\ 3k^2-3k+1)=(1,\ 3^{y-2})=(1,\ 1)となりうるため,\ 場合分けをした.
(1)\ \ 偶数であることの証明ということで2で割ったときの余りに着目してみるも,\ うまくいかない.
\ \ mが偶数であれ奇数であれ,\ 3^m\,が奇数であることに変わりないからである.
\ \ 偶奇を考えるとき,\ 2で割ったときの余りで駄目ならば,\ 2^2=4で割ったときの余りを考える.}
\ \ 余りが2択から4択になり,\ より深く性質を探ることができるようになる.
\ \ 本問は背理法}を用いると簡潔に済む.
\ \ mが奇数であると仮定すると矛盾が生じる}ことを示せばよい.
\ \ 合同式}を用いて記述すると簡潔に済む.\ 合同式を用いない場合は記述がかなり面倒になる.
\ \ 合同式については簡潔な説明に留めるので,\ 詳しくは整数カテゴリで確認してほしい.
\ \ 「\,9と1は4で割ったときの余りが等しい」を合同式で表すと9≡1±od4}となる.
\ \ また,\ n≧2より2^n\,は4の倍数であるから,\ 2^n≡0±od4}である.
\ \ 合同式の≡ は,\ 基本的には普段の=と同じ感覚で使用できる.}
\ \ こうして,\ 3^m-2^n\,を4で割ったときの余りが3}であることがわかる(=1に矛盾).
\ \ mが奇数で矛盾する時点でmは偶数といえるが,\ 一応mが偶数のときを確認すると次となる.
\ \ m=2kのとき 3^m-2^n=3^{2k}-2^n=9^k-2^n≡1^k-0≡1\ ±od4
(2)\ \ mが偶数という前提さえあれば,\ 実にあっさりと求められる.
