pを2とは異なる素数とする.\ \ m^2=n^2+p^2\ を満たす自然数の組(m,\ n)がただ1組$
$存在することを証明せよ. \ \ [\,静岡大\,]$ 不定方程式 \\
素数の定義} 2個の正の約数(1と自分自身)をもつ自然数
$[1]$\ \ 素数の定義より,\ $素数pの約数は±1と± pに限られる.$
$[2]$\ \ 偶数の素数は2のみ 逆に言えば,\ 3以上の素数は全て奇数
素数の性質は他にもあるが,\ 不定方程式でよく利用するのはこの2つの性質である.
$ここで,\ pは奇素数であるから,\ p^2+1,\ p^2-1は正の偶数}である.$
$よって,\ p^2+1}{2},\ p^2-1}{2}\ は自然数となる.$
$以上から,\ 自然数の組(m,\ n)がただ1組存在する}ことがわかる.$
まず,\ 「存在することを証明せよ」という問題文をみてビビってはならない.
高校数学では,\ 「存在することを証明せよ」が「求めよ」に等しい}ことが多い.
本問も,\ 所詮は頻出の不定方程式\ x^2-y^2=k型}であり,\ 単に(m,\ n)を求めればよいだけである.
この型は,\ (文字式)×(文字式)=(具体的な整数)}に変形し,\ 組合せを考えるのであった.
通常,\ 右辺には文字が含まれていてはならず,\ 具体的な整数でなければならない.
kのような文字の場合,\ 整数の積としての表現が(±\,1)×(±\,k)のみとは限らないからである.
仮にk=6=(非素数)とすると,\ k=2× k2\ (=2×3)などと表現することもできてしまう.
k=9のときのk=3× k3\ (=3×3)など,\ 整数の積としての表現の仕方は無限にある.
文字が含まれていても,\ それが素数ならば整数の積としての表現の仕方は有限になる.}
素数pを整数の積で表すとき,\ (±\,1)×(±\,p)}以外ありえないからである.
本問の場合,\ (m+p)(m-p)=n^2\,と変形しても意味がなく,\ =p^2=(素数の積)とする必要がある.
一見同じだが,\ 素数を意識した変形ができるか否かが問われている.
積がp^2\,となる組合せは
繰り返しになるが,\ pが素数なので組合せがこの6組のみといえる}ことに注意してほしい.
x^2-y^2=k型は,\ 各因数の範囲と大小関係を考慮}すると候補を絞り込めるのであった.
m>0,\ n>0よりm+n>0がいえ,\ さらにp^2>0よりm-n>0もいえる.
加えて,\ 因数の差を計算}してみることで大小関係もわかる.
結局,\ m+n>m-n>0を満たすのは(m+n,\ m-n)=(p^2,\ 1)のみである.
(m,\ n)が求まるが,\ 見かけ上分数になっており,\ これが自然数であることを示す必要がある.
(m,\ n)が自然数の組であるためには,\ 分子p^2±1が2の倍数でなければならない.}
ここで,\ 条件「\,pが2とは異なる素数」が効いてくる.
あえて2を除外しているのは,\ p=2のときは成り立たないからであろう.
他の素数では成り立つが2では成り立たないのならば,\ その要因を偶奇性に求めるのは自然}である.
pは奇数なのでp^2\,も奇数であり,\ このときp^2±1は偶数である.
$p,\ q,\ r$を$pp,\ n>pがほぼ明らかである.
もう少し丁寧に示すと解答のようになる.
各因数の範囲と大小関係を考慮すると,\ 結局組合せは2通りに絞られる.
m^3+n^3=p$を満たす自然数$m,\ n$と素数$p$を求めよ.
因数の範囲を考慮するだけで組合せが1通りに絞られるが,\ その後がやや面倒である.
m+n=p,\ m^2-mn+n^2=1はいずれも対称式(mとnを入れ替えても同じ式)である.
対称式の連立方程式は,\ 対称性を維持したまま解く}のがスマートなのであった.
まず基本対称式m+n,\ mnを求める.
そして,\ 基本対称式をなす2数m,\ nを求めるには,\ m,\ nを解にもつ2次方程式を作成する.}
m,\ nを解にもつ2次方程式の1つは(t-m)(t-n)=0,\ つまりt^2-(m+n)t+mn=0である.
pが具体的な整数ならば,\ m+nとmnの値を代入して解けば,\ これでm,\ nの値が求まる.
本問の場合は文字pが含まれているので,\ tとpの2次の不定方程式となる.
2次の不定方程式は,\ 判別式}によって範囲を絞り込める可能性があるのであった.
さらにpが素数という強力な条件により,\ p=2しかありえないことがわかる.
