n[ mol ] の単原子分子理想気体を右図のようなサイクル
で状態変化させた. 状態Aの気体の温度をT₀, 気体定数
をRとする.
(1) 各過程における内部エネルギーの変化ΔU, 気体が
外部にした仕事W_out, 気体が吸収した熱量Q_inを
n, R, T₀を用いて表せ.
(2) このサイクルの熱効率eを求め, 分数で答えよ.
[図要素：A(V₀,P₀), B(V₀,3P₀), C(4V₀,3P₀), D(4V₀,P₀) の四角形サイクル。矢印方向 A→B→C→D→A。]
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(1)
ΔU W_out Q_in
A→B 3nRT₀ 0 3nRT₀
B→C 27/2 nRT₀ 9nRT₀ 45/2 nRT₀
C→D -12nRT₀ 0 -12nRT₀
D→A -9/2 nRT₀ -3nRT₀ -15/2 nRT₀
(2)
e = W_all / Q_in
= ( W_A→B + W_B→C + W_C→D + W_D→A ) / ( Q_A→B + Q_B→C )
= (0 + 9nRT₀ + 0 – 3nRT₀) / (3nRT₀ + 45/2 nRT₀)
= 6nRT₀ / (51/2 nRT₀)
= 4/17
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以下、補足解説：
以下の解説は, 前項の内容が一通り頭に入っていることを前提としている.
(1) 物質量(モル)が一定であるから, 常にボイル・シャルルの法則が成立する.
まず, ボイル・シャルルの法則を用いて状態B, C, Dの温度を求められる.
AとB 体積一定より P₀/T₀ = 3P₀/T_B → T_B = 3T₀
AとC P₀V₀/T₀ = 3P₀·4V₀/T_C → T_C = 12T₀
AとD 圧力一定より V₀/T₀ = 4V₀/T_D → T_D = 4T₀
単原子分子理想気体とあるから, 何変化でも ΔU = 3/2 nRΔT を利用できる.
変化量なので, (後)-(前) であることに注意する.
温度が下がるC→D, D→AではΔUは負となる.
ΔU_A→B = 3/2 nR(3T₀ – T₀) = 3nRT₀
ΔU_B→C = 3/2 nR(12T₀ – 3T₀) = 27/2 nRT₀
ΔU_C→D = 3/2 nR(4T₀ – 12T₀) = -12nRT₀
ΔU_D→A = 3/2 nR(T₀ – 4T₀) = -9/2 nRT₀
定積変化であるから W_A→B = W_C→D = 0
定圧変化では W = pΔV として求められる.
図形的には, V軸との間で囲まれた長方形の面積であることにも留意しておく.
n, R, T₀ で表すため, 状態Aにおける状態方程式 P₀V₀ = nRT₀ を用いて変換する.
W_B→C = p(V_C – V_B) = 3P₀(4V₀ – V₀) = 9P₀V₀ = 9nRT₀
W_D→A = p(V_A – V_D) = P₀(V₀ – 4V₀) = -3P₀V₀ = -3nRT₀
体積が増加するとき外部にした仕事 W_out は正, 体積が減少するとき W_out は負となる.
ΔUとW_out が既知なので, Q_in は熱力学第一法則
Q_in = ΔU + W_out
によって求められる.
単原子分子なので, 定圧変化の B→C と D→A に限り, 直接 Q = 5/2 nRΔT で求めてもよい.
Q_B→C = 5/2 nR(12T₀ – 3T₀) = 45/2 nRT₀
Q_D→A = 5/2 nR(T₀ – 4T₀) = -15/2 nRT₀
(2) 熱効率の定義が e=(正味の仕事)/(実際に吸収した熱量) であることに注意して求める.
C→DとD→Aでは実際には放出しているので, これを分母に加えてはならない.
正味の仕事は, (実際に外部にした仕事)-(実際に外部からされた仕事)である.
言い換えると, 外部にした仕事を正のものも負のものもすべて足し合わせるということである.
各過程のW_outを求める必要がない場合, W_allはサイクル内の面積として求めると速い.
本問の場合, W_all=AB×AD=2P₀×3V₀=6P₀V₀=6nRT₀ である.
最後, e<1となっていることを確認する.
