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一般に,\ 圧力$p$,\ 体積$V$,\ 質量$m$,\ モル質量$M$,\ 気体定数$R$,\ 絶対温度$T$を用いると理想 \\[.2zh] \hspace{.5zw}気体の状態方程式は$pV=\fbox{\ (1)\ }$と表される.\ ここで,\ 気体の密度を$\rho$とすると \\[.2zh] \hspace{.5zw}$\rho=\fbox{\ (2)\ }$であるから,\ 状態方程式は$p,\ \rho,\ M,\ R,\ T$を用いて$\bunsuu{p}{\rho T}=\fbox{\ (3)\ }$と表さ \\[.2zh] \hspace{.5zw}れる.\ 同一気体であれば,\ 物質量が変化したとしても$\fbox{\ (3)\ }$は一定である. \\[1zh] \hspace{.5zw}熱気球があり,\ 風船部分の体積は常に$V$,\ 風船内の空気の質量を除いた気球の質量は \\[.2zh] \hspace{.5zw}$M$である.\ 地表付近の気圧を$p_0$,\ 空気の密度を$\rho_0$,\ 絶対温度を$T_0$とする. \\[1zh] \hspace{.5zw}(4)\ \ 気球が上昇し始めるときの温度$T_1$を求めよ.\ また,\ 密度$\rho_0=1.20$\,kg/m$^3$,\ 体積 \\[.2zh] \hspace{.5zw}\phantom{(4)}\ \ $V=1000$\,m$^3$,\ 質量$M=200$\,kg,\ 絶対温度$T_0=300$\,Kのときの$T_1$の値を求めよ. \\[.8zh] \hspace{.5zw}(5)\ \ 気球がある高度に達したとき,\ 温度を$T_2\ (>T_1)$に保って静止させた.\ このとき, \\[.2zh] \hspace{.5zw}\phantom{(5)}\ \ 気球外部の気圧は$p_2$であった.\ 気球外部の空気の密度${\rho_2}$を求めよ. \\
(2)\ \ 密度
(3)\ \ 本解のように無理矢理\,\bunsuu mV\,を作り出してもよいし,\ m=\rho Vとして代入してもよい. \\[.5zh] \phantom{(3)}\ \ Rは気体定数であり,\ モル質量Mは同じ気体ならば当然一定である. \\[.2zh] \phantom{(3)}\ \ 結局,\ \bm{\textcolor{blue}{\bunsuu{p}{\rho T}=(一定)}}\ が導かれる.\ これが\textbf{\textcolor{blue}{密度を用いたボイル・シャルルの法則}}である.
力のつりあいよりにしたときの気球内の密度を$\rho’$とする.
(4)\ \ 先に熱気球の原理を確認する. \\[.2zh] \phantom{(3)}\ \ \maru1\ \ \bm{気球内部の空気が熱せられることで膨張し,\ 一部が外部に排出される.} \\[.2zh] \phantom{(3)}\ \ \maru2\ \ \bm{気球内部の空気の密度が小さくなることで,\ 気球全体の質量が小さくなる(圧力は一定).} \\[.2zh] \phantom{(3)}\ \ \maru3\ \ \bm{気球全体の質量が浮力よりも小さくなり,\ 気球が浮上する.} \\[1zh] \phantom{(3)}\ \ \bm{浮力の公式F=\rho Vg\,における\,\rho\,は周囲の流体の密度}である(気体も流体). \\[.2zh] \phantom{(3)}\ \ 本問においては気球外部の空気の密度である. \\[.2zh] \phantom{(3)}\ \ 気球内部の空気を熱したとしても当然気球外部の空気の密度は変化しない. \\[.2zh] \phantom{(3)}\ \ よって,\ \bm{気球にはたらく浮力は常に一定}である. \\[.2zh] \phantom{(3)}\ \ 浮力が大きくなるからではなく,\ 気球全体の質量が小さくなるから浮上するのである. \\[1zh] \phantom{(3)}\ \ さて,\ 熱気球の問題の具体的な解答手順を確認する.\ ワンパターンである. \\[.2zh] \phantom{(3)}\ \ まず,\ 密度を用いたボイル・シャルルの法則を用いて\bm{気球内部の空気の密度}を求める. \\[.2zh] \phantom{(3)}\ \ 後は\bm{気球全体にはたらく力のつりあい}を考える.\ 気球内部の空気にはたらく重力を忘れない. \\[.2zh] \phantom{(3)}\ \ \bm{(浮力)=(気球にはたらく重力)+(気球内部の空気にはたらく重力)} \\[1zh] \phantom{(3)}\ \ \bm{気球の内部と外部はつながっているから,\ 気球内外の空気の圧力は常に一致する.} \\[.2zh] \phantom{(3)}\ \ よって,\ 密度を用いたボイル・シャルルの法則は結局\ \bm{\rho T=(一定)}\ となる. \\[.2zh] \phantom{(3)}\ \ また,\ (気球内部の空気の質量)=(気球内部の空気の密度\,\rho_1)\times(体積V)\ である. \\[1zh] (5)\ \ (4)と同様に気球内部の空気の密度を求めた後,\ 力のつりあいを立式すればよい. \\[.2zh] \phantom{(3)}\ \ ただし,\ 高度上昇に伴って気球内部の気圧がp_2\,に変化したことに注意.