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次の漸化式で定義される数列\suuretu{a_n}の一般項を求めよ.$ \\[1zh] 等差数列型・等比数列型・階差数列型・調和数列型}}}} \\\\[1zh] 最も基本的な次の3パターンは,\ 見抜くことさえできれば普通の数列の問題である. \\[.5zh] }{等差数列型} a_{n+1}-a_n=\textcolor{red}{d}} &a隣り合う項の差が一定d}}) \\[.5zh] \比数列型} a_{n+1}=\textcolor{red}{r}a_n} &隣り合う項の比が一定r}}) \\[.5zh] 階差数列型} a_{n+1}-a_n=\textcolor{red}{f(n)}} &amp隣り合う項の差がnの式}})
加えて,\ 出題頻度は低いが,\ \textbf{\textcolor{blue}{調和数列型}}\ がある. \\[.2zh] 調和数列とは,\ \textbf{\textcolor{magenta}{逆数が等差数列}}となる数列である. \\[.5zh] \centerline{{\large $\bm{\textcolor{blue}{調和数列型} \textcolor{red}{\bunsuu{1}{a_{n+1}}-\bunsuu{1}{a_n}=d}  (\bm{\textcolor[named]{ForestGreen}{隣り合う項の逆数の差が一定d}})}$}} \\[.5zh] これは,\ $\bm{\textcolor{cyan}{\bunsuu{1}{a_n}=b_n}}$\ とおくと$\bm{\textcolor{blue}{等差数列型}\ \textcolor{cyan}{b_{n+1}}-\textcolor{cyan}{b_n}=\textcolor{red}{d}}$\ に帰着する. \\\\
とかく厄介なのは,\ 次の形で出くわした場合に気付きにくいことである. \\[.5zh] \centerline{{\large $\bm{\textcolor{blue}{調和数列型} \textcolor{red}{a_{n+1}a_n-da_{n+1}+da_n=0}} (分母を払った形)$}} \\[.5zh] この形を見かけたときは,\ $\bm{\textcolor{cyan}{両辺をa_{n+1}a_nで割って分数形に直す.}}$ \\[.2zh] -\,2を移項すると,\ \bm{等差数列型の漸化式\ a_{n+1}-a_n=d}\ であることがわかる. \\[.2zh] 等差数列型であることさえ認識できれば,\ 後は等差数列の一般項を求める問題と考えればよい. \\[.2zh] 等差数列の一般項の公式\ a_n=a+(n-1)d\ に初項aと公差dを代入する. \\[1zh] さて,\ \bm{漸化式は,\ 式変形ではなく,\ 式の意味を考えてa_n\,を求める}必要がある. \\[.2zh] a_{n+1}-a_n=2\ を変形して何とかしようとする学生が多いが無意味である. \\[.2zh] 漸化式\ a_{n+1}-a_n=2\ から,\ \bm{「a_nは公差2の等差数列」という意味を読み取る.} \\[.2zh] その後は,\ \bm{等差数列の一般項の問題としてa_n\,を求める}のである. \\[.2zh] 元の漸化式をいくら変形してもa_n=2n+1は出てこないので注意してほしい.
a_n\,を移項すると,\ \bm{等比数列型\ a_{n+1}=ra_n}\ であることがわかる. \\[.2zh] そして,\ \bm{「a_n\,は公比-1の等比数列」という意味を読み取る.} \\[.2zh] 後は,\ \bm{等比数列の一般項の問題としてa_n\,を求める}.\ 公式は\bm{a_n=ar^{n-1}}であった. \\[.2zh] 単にa_{n+1}+a_n=0を変形しているだけでは,\ 一般項a_n\,は永遠に求まらない.
-\,2n+3を移項すると,\ \bm{階差数列型\ a_{n+1}-a_n=(nの式)}\ であることがわかる. \\[.2zh] そして,\ \bm{「a_n\,は階差数列が2n-3である数列」という意味を読み取る.} \\[.2zh] 後は,\ \bm{階差数列の問題としてa_n\,を求める.}  \bm{n\geqq2\ のとき\ \ a_n=a_1+\retuwa{k=1}{n-1}b_k} \\[.8zh] こうして求まった式に試しに\ n=1\ を代入してみると\ a_1=1\ となり,\ 問題の\ a_1=1\ と矛盾しない. \\[.2zh] よって,\ n=1\ の場合もまとめて答えることができる. \\[.2zh] 元の漸化式を変形しているだけでは,\ 一般項a_n\,は永遠に求まらない.
問題の漸化式を見て\bm{調和数列型}であることに気付かなければ厳しい. \\[.2zh] \bm{背理法で\ a_n\neqq0\ を示す.}\ \ a_{n+1}=0\ を仮定したとき,\ 漸化式よりa_n=0\ となる. \\[.2zh] a_{n+1}=0\ \Longrightarrow\ a_n=0\ なのだから,\ a_n=0\ \Longrightarrow\ a_{n-1}=0\ である. \\[.2zh] これを繰り返すことでa_1=0\ が導かれるが,\ 問題の\ a_1=3\ と矛盾する. \\[.2zh] \neqq0\ が確認されれば,\ \bm{a_{n+1}a_n\ で両辺を割る.} \\[.2zh] これくらいの問題ならば,\ いちいち\ \bunsuu{1}{a_n}=b_n\ と置換せずに求めたい. \\[.6zh] 最後,\ \bunsuu{1}{a_n}=-\bunsuu n2+\bunsuu56\,の逆数を\ a_n=-\bunsuu2n+\bunsuu65\,とする間違いが多いので注意.