induction

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漸化式は,\ 解法がわからない場合でも,\ あきらめるのはまだ早い. \\  \textbf{\textcolor{red}{一般項を予想し,\ それを数学的帰納法で証明する}}という最終手段がある. \\\\\\  ゆえに $\textcolor{red}{a_n=\bunsuu{12n-5}{4n-3}}\ であると予想できる.$ \\\\\\  $a_n=\bunsuu{12n-5}{4n-3}\ を\textcolor{blue}{数学的帰納法}によって証明する.$ \\[.5zh]  $[1]\ \textcolor[named]{ForestGreen}{n=1}のとき a_1=\bunsuu{12\cdot1-5}{4\cdot1-3}=\bunsuu71=7 より,\ 成立する.$ \\[.8zh]  $[2]\ \textcolor[named]{ForestGreen}{n=k}\hspace{.1zw}のとき \textcolor{cyan}{a_k=\bunsuu{12k-5}{4k-3}}\ が成立すると仮定する.$ \\  $\phantom{[2]\ }$よって,\ $n=k+1のときも成立する.$ \\\\  $\therefore [1],\ [2]より,\ \bm{全ての自然数nについて,\ a_n=\bunsuu{12n-5}{4n-3}が成立する.}$ \\\\\\ 一般項の予想さえできれば,\ 数学的帰納法を用いた方法はある意味最強である. \\ しかし,\ a_4くらいまでで規則性が見いだせないなら,\ 予想は難しいかもしれない. \\ 本問は一般分数型なので,\ そのパターンとして解くことももちろんできる. \\ ここでは,\ その方法が分からない場合を想定し,\ 数学的帰納法による方法を示す. \\[1zh] a_4くらいまで求めると,\ 分母と分子がそれぞれ等差数列であることに気付く. \\ 等差数列の一般項\ a_n=a+(n-1)d\ を用いると,\ 一般項の予想式を作成できる. \\[1zh] あくまで予想なので,\ 数学的帰納法で全ての自然数で成立することを証明する. \\ 数学的帰納法は,\ 次の2段階を踏む証明である. \\ \text{[1]}\ \bm{n=1のときを示す.}\ 本問では,\ 代入するだけでよい. \\ \text{[2]}\ \bm{n=kのときを仮定し,\ n=k+1のときを示す.} \\[1zh] 特に,\ 漸化式の一般項の証明では,\ \bm{仮定した式だけでなく,\ 元の漸化式も利用}する. \\ 本問では,\ まず\bm{元の漸化式を用いてから,\ 仮定した式を適用して変形}していく. \\[1zh] なお,\ 数学的帰納法は記述上のテクニックが1つある. \\ \bm{\underline{n=k+1の証明に入る前に,\ 証明の最終結果を記述しておく(下線部).}} \\ この部分は,\ 教科書や参考書では記述されない不要な記述である. \\ しかし,\ 次の2点の理由により,\ 試験では記述するとよい. \\ 1点は,\ \bm{目指すべき最終目標が簡潔になり,\ 明確に意識できる}点である. \\ 本問の場合であれば,\ \bunsuu{12k+7}{4k+1}\ を目指せばよいことがわかる. \\ これをあらかじめ求めていなければ,\ 最後に次の変形をして示すことになる. \\ \bunsuu{12k+7}{4k+1}=\bunsuu{12(k+1)-5}{4(k+1)-3}  左辺から右辺は容易だが,\ 逆はやや面倒である. \\ もう1点は,\ 証明が完了できなくても,\ 部分点をもらいやすくなる点である. \\ 最終目標が認識できていたことを採点官にアピールできるからである.