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次の漸化式で定義される数列\suuretu{a_n}の一般項を求めよ.$ \\[.5zh] \hspace{.5zw}$  (1)\ \ a_1=1,\ \ a_2=3,\ \ a_{n+2}-2a_{n+1}-8a_n=0$ \\[.5zh] \hspace{.5zw}$  (2)\ \ a_1=2,\ \ a_2=7,\ \ a_{n+2}-3a_{n+1}+2a_n=0$ \\[.5zh] \hspace{.5zw}$  (3)\ \ a_1=1,\ \ a_2=5,\ \ a_{n+2}-6a_{n+1}+9a_n=0$ \\
{隣接3項間型}$\bm{特性方程式\ x^2+px+q=0}$}\ を解く. \\[.2zh] この特性方程式の解の種類により,\ 大きく2パターンに分類される. \\\\[.5zh] 基本的には,\ \textcolor{cyan}{\textbf{2つの異なる特殊解} $\bm{\alpha,\ \beta}$} が求まり, \\[.2zh] {2つの等比数列型{等比数列型の2式をそれぞれ解く}}と 階差数列型\,}}]$ \\[.4zh] ただし,\ $\alpha=1$の場合も差を計算して$a_{n+1}$を消去する上の方法のほうが楽である.
隣接3項間型は超頻出の漸化式である.\ また,\ 誘導なしで解けなければならない. \\[.2zh] よって,\ 特性方程式の作り方や等比数列型の最終形の暗記が必要である. \\[1zh] なぜ\ a_{n+2}=x^2,\ a_{n+1}=x,\ a_n=1\ として特殊解を求めるとうまくいくのだろうか. \\[.2zh] 漸化式を解くには,\ 何とかして上のような等比数列型に変形できればよい. \\[.2zh] 等比数列型の最終形の式を展開し,\ 逆からさかのぼる. \\[.2zh] 展開して整理すると,\ いずれの式も\ \bm{a_{n+2}-(\alpha+\beta)a_{n+1}+\alpha\beta a_n=0}\ となる. \
ここで,\ 解と係数の関係より,\ \alpha,\ \beta\ は\ x^2+px+q=0\ の2解である. \\[.2zh] この方程式は,\ 元の漸化式において\ a_{n+2}=x^2,\ a_{n+1}=x,\ a_n=1\ とした式と一致する.
上級者は以下の場合の対応も確認しておいてほしい. \\[.2zh] a_{n+2}-2a_{n+1}-8a_n=2のように=0でない場合,\ 階差をとると=0の型に帰着する.
a_{n+2}-2a_{n+1}-8a_n=2nのように=(1次式)の場合,\ 2回階差をとると=0の型に帰着する.
これらは,\ n次式型の扱いと同様の発想である.
\maru1が階差数列型であることに着目すると,\ \maru2がなくても求められる. \\[.2zh] ただし,\ 解法に(1)との統一性がない上,\ 場合分けも必要になる.
a_{n+2}-6a_{n+1}+9a_n=0\ より,\ 特性方程式は\,\bm{x^2-6x+9=0}\,である. \\[.2zh] (x-3)^2=0\ より \bm{x=3\ (重解)} \\[1zh] 重解の場合は1つしか式を作れないので,\ この式だけでa_n\,を求める必要がある. \\[.2zh] そのためには,\ \bm{指数型\ a_{n+1}=pa_n+r^n}\ とみなして解けばよい. \\[.2zh] p=rの指数型は,\ \bm{両辺をr^{n+1}で割ると等差数列型に帰着}するのであった. \