(1)の①-②の5・4n-1+(-1)・(-2)n-1は5・4n-1-(-1)・(-2)n-1の誤りですm(_ _)m

three

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特性方程式の解の種類によって,\ 大きく2パターンに分類される特性方程式\ x^2+px+q=0}$}\ を解く.} \\[1zh]  \textcolor{green}{\textbf{2つの特殊解} $\bm{\alpha,\ \beta}$} が求まり, \\[.2zh] 隣接3項間型は,\ 誘導なしで解けるようにしておかなければならない. \\ 特性方程式の作り方や,\ 等比数列型の最終形の暗記が必要である. \\[1zh] なぜ\ a_{n+2}=x^2,\ a_{n+1}=x,\ a_n=1\ として特殊解を求めるのだろうか. \\ 漸化式を解くには,\ 何とかして上のような等比数列型に変形できればよい. \\ 最終形の式を展開し,\ 逆からさかのぼる. \\ 展開して整理すると,\ いずれの式も\ \bm{a_{n+2}-(\alpha+\beta)a_{n+1}+\alpha\beta a_n=0}\ となる. \\ よって,\ \alpha,\ \beta\ を,\ \alpha+\beta=-p,\ \alpha\beta=q\ を満たすように定めればよい. \\ ここで,\ 解と係数の関係より,\ \alpha,\ \beta\ は\ x^2+px+q=0\ の2解である. \\ この方程式は,\ 元の漸化式で\ a_{n+2}=x^2,\ a_{n+1}=x,\ a_n=1\ とした式と一致する.  $[1]$\ \ [\textbf{$\textcolor{blue}{\bm{\alpha\neqq\beta}}$の場合}] \\[.5zh]   \ \ \textbf{\textcolor{red}{等比数列型の2式をそれぞれ解く}}と \\[.5zh]   \ \ ここから,\ $\bm{\textcolor{cyan}{差\maru1-\maru2}}を計算して,\ \bm{\textcolor{red}{a_{n+1}を消去}}する.   \ \ $\maru1は \bm{\textcolor{magenta}{a_{n+1}-a_n=(a_2-a_1)\cdot\beta^{n-1}}}  [\textbf{\textcolor{blue}{階差数列型}}]$ \\[.2zh]   \ \ よって,\ 階差数列型としても解けるが,\ 上の方法で解くほうが楽である. \\\\\\   \ \ $1つの式しかできないので,\ \textbf{\textcolor{magenta}{連立はできない.}}$ \\[.5zh]   \ \ これは,\ \textbf{\textcolor{blue}{指数型}}と考えて解くと,\ 最終的には\textbf{\textcolor{blue}{等差数列型に帰着}}する. \\\\\\ \suuretu{a_{n+1}+2a_n}は,\ 初項\ a_2+2a_1=5,\ 公比4\ の等比数列. \\ \suuretu{a_{n+1}-4a_n}は,\ 初項\ a_2-4a_1=-1,\ 公比-2\ の等比数列. a_{n+2}-3a_{n+1}+2a_n=0\ より,\ 特性方程式は \bm{x^2-3x+2=0} \\ よって (x-1)(x-2)=0 より  \bm{x=1,\ 2} \\[1zh] \suuretu{a_{n+1}-a_n}は,\ 初項\ a_2-a_1=5,\ 公比2\ の等比数列. \\ \suuretu{a_{n+1}-2a_n}は,\ 初項\ a_2-2a_1=3,\ 公比1\ の等比数列. \\[1zh] \maru2は,\ a_{n+2}-2a_{n+1}=a_{n+1}-2a_n\ を次のように考えて導くこともできる. \\ \bm{a_{n+2}-2a_{n+1}=a_{n+1}-2a_n=a_n-2a_{n-1}=\cdots\cdots=a_2-2a_1=3} \\[2zh] \textbf{別解} \alpha=1の等比数列型を解くと,\ 階差数列型となることを利用する. \\    解法に(1)との統一性がない上,\ 場合分けも必要になる. \\[1zh] \underline{a_{n+2}-a_{n+1}}=2(\underline{a_{n+1}-a_n})  [\textcolor{blue}{等比数列型\ (\alpha=1)}] \\ よって a_2-a_1=5 より a_{n+1}-a_n=5\cdot2^{n-1}  [\textcolor{blue}{階差数列型}] \\[.5zh] 等比数列型}] \\[.5zh] \phantom{ (1)}\ $\textcolor{blue}{\suuretu{a_{n+1}-3a_n}は,\ 初項\ a_2-3a_1=2,\ 公比3\ の等比数列}である.$ \\[.2zh] \phantom{ (1)}\ $よって \textcolor{magenta}{a_{n+1}-3a_n=2\cdot3^{n-1}}  \ \ [\textcolor{blue}{指数型}]$ \\[1zh] \phantom{ (1)}\ $\textcolor[named]{ForestGreen}{両辺を3^{n+1}で割る} a_{n+2}-6a_{n+1}+9a_n=0\ より,\ 特性方程式は \bm{x^2-6x+9=0} \\ よって (x-3)^2=0 より  \bm{x=3\ (重解)} \\[1zh] 重解の場合,\ 1つしか式が作れないので,\ これだけでa_nを求める必要がある. \\ そのためには,\ \bm{指数型\ a_{n+1}=pa_n+r^n}\ とみなして解けばよい. \\ p=rの指数型は,\ \bm{両辺をr^{n+1}で割ると,\ 等差数列型に帰着}する. \\[1zh]