検索用コード
x^3-5x^2+3x+1=0$の解を$\alpha,\ \beta,\ \gamma$とするとき,\ $\alpha^5+\beta^5+\gamma^5$の値を求めよ. \\
漸化式を利用する方程式の解の高次対称式の値}}$}} \\\\
複素数と方程式(数\text{I\hspace{-.1em}I})において,\ 2次方程式の解の対称式\,\alpha^n+\beta^n\,の値を求める方法を学習した. \\[.2zh] まずはその方法を軽く復習する. \\[.2zh] ax^2+bx+c=0の2解を\,\alpha,\ \beta\,とすると,\ 解と係数の関係より\ \alpha+\beta=-\bunsuu ba,\ \alpha\beta=\bunsuu ca \\[.8zh] 後は,\ \alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta,\ \ \alpha^3等として求められる. \\[.2zh] さらに,\ これらを組み合わせて余分なものを引くことにより,\ より高次の式の値も求められる. \\[.2zh] しかし,\ 次数が高くなっていくにつれ,\ この方法が厳しくなってくる. \\[.2zh] 2次方程式ならまだしも,\ 3次方程式となるとさらに大変である. \\[.2zh] そこで\bm{最後の切り札となるのが,\ 漸化式を作成するという解法}である. \\[1zh] \alpha\,は方程式x^3-5x^2+3x+1=0の解であるから,\ 当然代入した式が成立する. \\[.2zh] この式の\bm{両辺を\,\alpha^n\,倍した式を作成する.}\ \beta,\ \gamma\,についても同様の式を作成する. \\[.2zh] \bm{3式を足し合わせた後S_n=\alpha^n+\beta^n+\gamma^n\,とおくことで,\ S_n\,についての漸化式を作成できる.} \\[.2zh] S_{n+3},\ S_{n+2},\ S_{n+1},\ S_n\,の4項間漸化式なので,\ S_1,\ S_2,\ S_3\,さえ与えられれば,\ S_n\,が順次求まる. \\[.2zh] S_2\,やS_3\,を以下の公式を利用して求める方法はすでに学習済みである. \\[.2zh]