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次の3パターンは,\ 見抜くことさえできれば,\ 普通の数列の問題である. \\[.5zh] \bm{\textcolor{blue}{等差数列型} a_{n+1}-a_n=\textcolor{red}{d}} &  (\bm{\textcolor[named]{ForestGreen}{隣り合う項の差が一定d}}) \\[.5zh] \bm{\textcolor{blue}{等比数列型} a_{n+1}=\textcolor{red}{r}a_n} &  (\bm{\textcolor[named]{ForestGreen}{隣り合う項の比が一定r}}) \\[.5zh] \bm{\textcolor{blue}{階差数列型} a_{n+1}-a_n=\textcolor{red}{f(n)}} &  (\bm{\textcolor[named]{ForestGreen}{隣り合う項の差がnの式}})  加えて,\ 出題頻度は低いが,\ \textbf{\textcolor{blue}{調和数列型}}\ がある. \\  調和数列とは,\ \textbf{\textcolor{magenta}{逆数が等差数列}}となる数列である. \\[.5zh] \centerline{$\bm{\textcolor{blue}{調和数列型}隣り合う項の逆数の差が一定d}})}$} \\[.5zh]  これは,\ $\bm{\textcolor{cyan}{\bunsuu{1}{a_n}=b_n}}$\ とおくと,\ $\bm{\textcolor{blue}{等差数列型}\ \textcolor{cyan}{b_{n+1}}-\textcolor{cyan}{b_n}=\textcolor{red}{d}}$\ に帰着する. \\\\  厄介なのは,\ 次の形で登場した場合に,\ 気付きにくいことである. \\[.5zh] \centerline{$\bm{\textcolor{blue}{調和数列型}  (分母を払った形)$} \\[.5zh]  この形を見かけたときは,\ $\bm{\textcolor{cyan}{両辺をa_{n+1}a_nで割り,\ 分数形に直す.}}$ \\  そのとき,\ $\bm{\textcolor{magenta}{a_n\neqq0}}$\ を示す必要があるが,\ \textbf{\textcolor{magenta}{背理法}}を使うのがスマートである. \\\\\\ 少し変形すると,\ \bm{等差数列型の漸化式\ a_{n+1}-a_n=d}\ であることがわかる. \\ 等差数列型が認識できれば,\ 後は等差数列の一般項を求める問題と考えればよい. \\ 等差数列の一般項の公式\ a_n=a+(n-1)d\ に初項aと公差dを代入する. \\[1zh] さて,\ \bm{漸化式は,\ 式変形ではなく,\ 式の意味を考えてa_nを求める}必要がある. \\ a_{n+1}-a_n=2\ を変形して何とかしようとする学生が多いが無意味である. \\ 漸化式\ a_{n+1}-a_n=2\ から,\ \bm{「a_nは公差2の等差数列」という意味を読み取る.} \\ その後は,\ \bm{等差数列の一般項の問題としてa_nを求める}のである. \\ 元の漸化式をいくら変形してもa_n=2n+1は出てこないので注意して欲しい. a_nを移項すると,\ \bm{等比数列型\ a_{n+1}=ra_n}\ であることがわかる. \\ そして,\ \bm{「a_nは公比-1の等比数列」という意味を読み取る.} \\ 後は,\ \bm{等比数列の一般項の問題としてa_nを求める}.\ 公式は,\ \bm{a_n=ar^{n-1}} \\ a_{n+1}+a_n=0を変形しているだけでは,\ 一般項a_nは永遠に求まらない. -2n+3を移項すると,\ \bm{階差数列型\ a_{n+1}-a_n=(nの式)}\ であることがわかる. \\ そして,\ \bm{「a_nは階差数列が2n-3である数列」という意味を読み取る.} \\ 後は,\ \bm{階差数列の問題としてa_nを求める.} この式に\ n=1\ を代入してみると\ a_1=1\ となり,\ 問題の\ a_1=1\ と矛盾しない. \\ よって,\ n\geqq2\ の式に\ n=1\ の場合も含めて答えればよい.\ \\ 元の漸化式を変形しているだけでは,\ 一般項a_nは永遠に求まらない. \phantom{ (4)}\ ところが,\ $a_1=3\ であるから,\ これは矛盾である.$ \\[.8zh] 元の漸化式を見て\bm{調和数列型}であることに気付きたい. \\ \bm{背理法で\ a_n\neqq0\ を示す.}\ a_{n+1}=0\ を仮定したとき,\ a_n=0\ となる. \\ a_{n+1}=0\ \Longrightarrow\ a_n=0\ なのだから,\ a_n=0\ \Longrightarrow\ a_{n-1}=0\ である. \\ 結局,\ これが繰り返され,\ a_1=0\ が導かれるが,\ 問題の\ a_1=3\ と矛盾する. \\ \neqq0\ が確認されれば,\ \bm{a_{n+1}a_n\ で両辺を割る.} \\ これくらいの問題ならば,\ いちいち\ \bunsuu{1}{a_n}=b_n\ と置換せずに求めたい. \\ 最後,\ \bunsuu{1}{a_n}=-\bunsuu n2+\bunsuu56の逆数を,\ a_n=-\bunsuu2n+\bunsuu65とする間違いが多いので注意.