10-x^2}\ が整数となるとき,\ その整数と自然数xを求めよ.$
$(2)\ \ √{x^2-12}\ が整数となるとき,\ その整数と自然数xを求めよ.$
$(3)\ \ √{x^2+5x}\ が整数となるとき,\ その整数と自然数xを求めよ.$ \\
√{f(x)}\,が整数となる条件$
$√{f(x)}$が整数となる条件は,\ $f(x)}$が平方数となる条件ともとらえられる.
[1]\ \ $(中身)≧0$として絞り込む.
[2]\ \ [1]で絞り込めない場合,\ $√{f(x)}=m\ (m:整数)}$とおいて両辺を2乗する.
すでに学習済みの不定方程式のパターンに帰着する.
x^2\,の係数が負ならば,\ 中身の図形的意味は上に凸の2次関数である.
よって,\ ≧0となる範囲は限られるはずである.
x^2\,が平方数であることも考慮して絞り込む.
\ (m:0以上の整数)}\ とおける.$ \ 両辺を2乗すると
また,\ $2m=(偶数)\ より,\ x+mとx-mの偶奇は一致する.}$
x^2\,の係数が正なので(中身)≧0で絞り込むことはできない.
常に√{f(x)}≧0であるから,\ 整数m≧0とおける.\ ≧0は絞り込みで役立つ.
結局,\ x^2-y^2=k型}の不定方程式に帰着する.
因数の範囲と大小関係を考慮すると,\ 1組にまで絞られる.
平方完成}により,\ x^2-y^2=k型}の不定方程式に帰着する.
汎用性は低いが,\ 別解の発想を知っていると簡潔に済むことがある.
与式を何とかしてできるだけ値が近い完全平方式(整式)^2\,ではさむ}ことを考える.
よって,\ (x+2)^2\,と(x+3)^2\,あたりではさめるのではないかと思いつく.
しかし,\ 実際に差を求めて確認}してみると,\ x^2+5x-(x+2)^2=x-4となる.
x-4は正になるとは限らないから,\ 常に(x+2)^2x^2+5xとなるとはいえない.
そこで,\ (x+1)^2\,で考え直すと,\ 常に(x+1)^2x^2+5xであることがわかる.
(x+1)^2\,と(x+3)^2\,の間にある平方数(x+2)^2\,と一致するしかない}というわけである.
$(2)\ \ √{x^2-12}\ が整数となるとき,\ その整数と自然数xを求めよ.$
$(3)\ \ √{x^2+5x}\ が整数となるとき,\ その整数と自然数xを求めよ.$ \\
√{f(x)}\,が整数となる条件$
$√{f(x)}$が整数となる条件は,\ $f(x)}$が平方数となる条件ともとらえられる.
[1]\ \ $(中身)≧0$として絞り込む.
[2]\ \ [1]で絞り込めない場合,\ $√{f(x)}=m\ (m:整数)}$とおいて両辺を2乗する.
すでに学習済みの不定方程式のパターンに帰着する.
x^2\,の係数が負ならば,\ 中身の図形的意味は上に凸の2次関数である.
よって,\ ≧0となる範囲は限られるはずである.
x^2\,が平方数であることも考慮して絞り込む.
\ (m:0以上の整数)}\ とおける.$ \ 両辺を2乗すると
また,\ $2m=(偶数)\ より,\ x+mとx-mの偶奇は一致する.}$
x^2\,の係数が正なので(中身)≧0で絞り込むことはできない.
常に√{f(x)}≧0であるから,\ 整数m≧0とおける.\ ≧0は絞り込みで役立つ.
結局,\ x^2-y^2=k型}の不定方程式に帰着する.
因数の範囲と大小関係を考慮すると,\ 1組にまで絞られる.
平方完成}により,\ x^2-y^2=k型}の不定方程式に帰着する.
汎用性は低いが,\ 別解の発想を知っていると簡潔に済むことがある.
与式を何とかしてできるだけ値が近い完全平方式(整式)^2\,ではさむ}ことを考える.
よって,\ (x+2)^2\,と(x+3)^2\,あたりではさめるのではないかと思いつく.
しかし,\ 実際に差を求めて確認}してみると,\ x^2+5x-(x+2)^2=x-4となる.
x-4は正になるとは限らないから,\ 常に(x+2)^2x^2+5xとなるとはいえない.
そこで,\ (x+1)^2\,で考え直すと,\ 常に(x+1)^2x^2+5xであることがわかる.
(x+1)^2\,と(x+3)^2\,の間にある平方数(x+2)^2\,と一致するしかない}というわけである.
