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定点\mathRM{F}(c,\ 0)とy軸からの距離の比がe:1である点\mathRM{P}の軌跡$ \\[.2zh] \hspace{.5zw}$を求めよ.$ \\   $点\mathRM{P}の座標を(x,\ y)とし,\ 点\mathRM{P}からy軸に下ろした垂線の足を\mathRM{H}とする.$ \\[.5zh]   $\mathRM{PF:PH=e:1}$ より $\textcolor{cyan}{\mathRM{PF^2=e^2PH^2}}$ \\[.5zh]   $(x-c)^2+y^2=e^2x^2$ より $\textcolor{cyan}{(1-e^2)x^2-2cx+y^2+c^2=0}$ \\\\   [1]\ \ $\bm{\textcolor{red}{e=1}}\ のとき  \bm{放物線\ y^2=2cx-c^2}$ \\\\   [2]\ \ $\textcolor{red}{e\neqq1}\ のとき$ \\[.5zh]      $\bm{\bunsuu{\left(x-\bunsuu{c}{1-e^2}\right)^2}{\bunsuu{c^2e^2}{(1-e^2)^2}}+\bunsuu{y^2}{\bunsuu{c^2e^2}{1-e^2}}=1}  \cdots\cdots\maru1$ \\\\[.5zh]     $\bm{\textcolor{red}{0e1}}のとき,\ 1-e^20より\ \textcolor[named]{ForestGreen}{\bunsuu{c^2e^2}{(1-e^2)^2}0,\ \bunsuu{c^2e^2}{1-e^2}0}\ なので \bm{楕円}$ \\[.5zh]     $\bm{\textcolor{red}{e1}}のとき,\ 1-e^20より\ \textcolor[named]{ForestGreen}{\bunsuu{c^2e^2}{(1-e^2)^2}0,\ \bunsuu{c^2e^2}{1-e^2}0}\ なので \bm{双曲線} 軌跡問題の基本通り,\ 動点\mathRM{P}を文字で設定して与えられた条件を立式する. \\[.2zh] 根号が出てこないようにあらかじめ2乗しておくとよい. \\[.2zh] x,\ yについての2次方程式を得るが,\ x^2\,の係数が0か否かで曲線の種類が大きく変わる. \\[.2zh] 1-e^2=0,\ つまりe=1として整理すると放物線の方程式となる. \\[.2zh] 1-e^2\neqq0のときは楕円または双曲線になると考えられる. \\[.2zh] xについて平方完成した後,\ 右辺を1にすることで標準形に変形する. \\[.2zh] (1-e^2)\left(x^2-\bunsuu{2c}{1-e^2}x\right)+y^2+c^2=0  (1-e^2)\left(x-\bunsuu{c}{1-e^2}\right)^2-\bunsuu{c^2}{1-e^2}+y^2+c^2=0 \\[1.3zh] (1-e^2)\left(x-\bunsuu{c}{1-e^2}\right)^2+y^2=\bunsuu{c^2e^2}{1-e^2}  \ \bunsuu{\left(x-\bunsuu{c}{1-e^2}\right)^2}{\bunsuu{c^2e^2}{(1-e^2)^2}}+\bunsuu{y^2}{\bunsuu{c^2e^2}{1-e^2}}=1 \\\\ ここで,\ 第1項の分母について常に\bunsuu{c^2e^2}{(1-e^2)^2}0より,\ \bm{\bunsuu{c^2e^2}{(1-e^2)^2}=a^2}\ とおける. \\[.8zh] 第2項の分母\ \bunsuu{c^2e^2}{1-e^2}\ の正負は1-e^2\,の正負に依存する. \\[.8zh] \bunsuu{c^2e^2}{1-e^2}0\ であるから,\ \bm{\bunsuu{c^2e^2}{1-e^2}=b^2}\ とおける. \\[1zh] このとき,\ \maru1は\bm{楕円の方程式\ \bunsuu{\left(x-\bunsuu{c}{1-e^2}\right)^2}{a^2}+\bunsuu{y^2}{b^2}=1}\ となる. \\\\ また,\ e1のとき\ \bunsuu{c^2e^2}{1-e^2}であるから,\ \bm{\bunsuu{c^2e^2}{1-e^2}=-\,b^2}\ とおける. \\[1zh] このとき,\ \maru1は\bm{双曲線の方程式\ \bunsuu{\left(x-\bunsuu{c}{1-e^2}\right)^2}{a^2}-\bunsuu{y^2}{b^2}=1}\ となる. \\\\ 以上のように,\ \bm{eの値で2次曲線が分類}されることがわかる. \\[.2zh] 元々,\ e=1のときの\mathRM{PF=PH}は放物線の定義そのものである. \\[.2zh] つまり,\ 「1点と1本の直線からの距離が1:1である(等しい)点の軌跡」である. \\[.2zh] 本問から,\ \bm{楕円や双曲線も1点と1本の直線からの距離の比を用いて定義できる}ことがわかる. \\[.2zh] このときの1点を\bm{\textcolor{blue}{焦点}},\ 1本の直線を\bm{\textcolor{blue}{準線}},\ eを\bm{\textcolor{blue}{離心率}}という. \\[.2zh] \bm{離心率eを用いると楕円・放物線・双曲線が統一的に定義できる}のである. 焦点・準線と離心率の関係}} \\[1zh]   $楕円と双曲線の中心が原点になるように\maru1をx軸方向に\ -\bunsuu{c}{1-e^2}\ 平行移動すると$ \\[.5zh] \centerline{$\bunsuu{x^2}{\bunsuu{c^2e^2}{(1-e^2)^2}}+\bunsuu{y^2}{\bunsuu{c^2e^2}{1-e^2}}=1\ \ \cdots\maru2, 焦点\left(\bunsuu{-\,ce^2}{1-e^2}\ ,0\right), 準線\ x=-\bunsuu{c}{1-e^2}$}は楕円を表すから\ \textcolor{cyan}{a=\bunsuu{ce}{1-e^2},\ \ b=\bunsuu{ce}{\ruizyoukon{1-e^2}}}\ とおくと$ \\[.5zh]     $\bm{\textcolor{red}{\bunsuu{x^2}{a^2}+\bunsuu{y^2}{b^2}=1}, 焦点\ \textcolor{red}{(-\,ae,\ 0)}, 準線\ \textcolor{red}{x=-\bunsuu ae}, 離心率\ \textcolor{red}{e=\bunsuu{\ruizyoukon{a^2-b^2}}{a}}}$ \\\\[1zh]   [2]\ \ $\textcolor[named]{ForestGreen}{e1}のとき,\ \maru2は双曲線を表すから\ \textcolor{cyan}{a=\bunsuu{ce}{e^2-1},\ \ b=\bunsuu{ce}{\ruizyoukon{e^2-1}}}\ とおくと$ \\[.5zh]     $\bm{\textcolor{red}{\bunsuu{x^2}{a^2}-\bunsuu{y^2}{b^2}=1}, 焦点\ \textcolor{red}{(ae,\ 0)}, 準線\ \textcolor{red}{x=\bunsuu ae}, 離心率\ \textcolor{red}{e=\bunsuu{\ruizyoukon{a^2+b^2}}{a}}}$ \\\\\\ \centerline{{\small $\left[\textcolor{brown}{\begin{array}{l} 焦点(c,\ 0)を\ -\bunsuu{c}{1-e^2}\ 平行移動すると,\ x座標は c-\bunsuu{c}{1-e^2}=\bunsuu{-\,ce^2}{1-e^2} \\\\ 平行移動後の焦点・準線とaの式を見比べると,\ 焦点・準線がaとeのみで表せることがわかる. \\[.2zh] また,\ aとbの式からcを消去して,\ 離心率eをa,\ bのみで表すことができる. \\[.2zh] c=\bunsuu{a(1-e^2)}{e} より b=a\ruizyoukon{1-e^2}   2乗して b^2=a^2(1-e^2) より e^2=\bunsuu{a^2-b^2}{a^2} \\[.8zh] ここで,\ e=0のときa=bとなることから,\ \bm{円の離心率\,e=0}と定めるのが合理的である. \\[.2zh] また,\ 離心率が次のような図形的意味をもつことも確認しておこう. \\[.5zh] 楕円の焦点(\pm\ruizyoukon{a^2-b^2},\ 0)より \bm{e=\bunsuu{2\ruizyoukon{a^2-b^2}}{2a}=\bunsuu{(楕円の2個の焦点間距離)}{(楕円の長軸の長さ)}} \\\\ e1\ (1-e^20)のときは\ \bunsuu{x^2}{\bunsuu{c^2e^2}{(e^2-1)^2}}-\bunsuu{y^2}{\bunsuu{c^2e^2}{e^2-1}}=1\ と考えてa,\ bを設定する. \\[.5zh] c=\bunsuu{a(e^2-1)}{e} より b=a\ruizyoukon{e^2-1}   2乗して b^2=a^2(e^2-1) より e^2=\bunsuu{a^2+b^2}{a^2} \\[.8zh] 双曲線の焦点(\pm\ruizyoukon{a^2+b^2},\ 0)より \bm{e=\bunsuu{2\ruizyoukon{a^2+b^2}}{2a}=\bunsuu{(双曲線の2個の焦点間距離)}{(双曲線の頂点間の長さ)}}