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外部の点Pから楕円$\bunsuu{x^2}{16}+\bunsuu{y^2}{9}=1$に引いた2本の接線が直交するとき,\ 点Pの軌跡 \\[.2zh] \hspace{.5zw}を求めよ. \\   点Pを$(p,\ q)$,\ 接線の傾きを$m$とする. \\[.2zh]   $\textcolor[named]{ForestGreen}{p\neqq\pm\,4}$のとき,\ 接線の方程式を$\textcolor{cyan}{y=m(x-p)+q}$とおける. \\[1.5zh]   $9x^2+16y^2=144\,に接線の方程式を代入して整理すると$ \\[.5zh]   $    9x^2+16\{\textcolor{cyan}{mx-(mp-q)}\}^2=144$ \\[.5zh]   $よって \textcolor{red}{(16m^2+9)x^2-32m(mp-q)x+16(mp-q)^2-144=0}$ \\[1.5zh]   $y=m(x-p)+q\,が楕円と接する条件は$ \\[.5zh]   $  判別式\ \textcolor{red}{\bunsuu{D}{4}}=\{16m(mp-q)\}^2-(16m^2+9)\{(16(mp-q)^2-144\}=\textcolor{red}{0}$ \\[.5zh]   $整理すると \textcolor{red}{(p^2-16)m^2-2pqm+q^2-9=0} \cdots\cdots\maru1$ \\\\[.5zh]   [1]\ \ $\textcolor[named]{ForestGreen}{p\neqq\pm\,4}\ のとき,\ \maru1の2実数解をm_1,\ m_2\,とする.$ \\[.5zh]    \ \ \,$2本の接線が直交する条件は,\ \textcolor[named]{ForestGreen}{解と係数の関係}より \textcolor{red}{m_1m_2=\bunsuu{q^2-9}{p^2-16}=-\,1}$ \\[.5zh]    \ \ \,$整理すると \textcolor{red}{p^2+q^2=25}\ \ (p\neqq\pm4) \cdots\cdots\maru2$ \\[.5zh]    \ \ \,$このとき,\ \maru1は異なる2つの実数解m_1,\ m_2\,をもつ.$ \\\\[.5zh]   [2]\ \ $\textcolor[named]{ForestGreen}{p=\pm\,4}\,のとき,\ \textcolor{red}{\mathRM{P}(4,\ \pm\,3),\ (-\,4,\ \pm\,3)}であり,\ これらは\maru2上の点である.$ \\\\[.5zh] \centerline{$\therefore 求める軌跡は \bm{原点中心,\ 半径5の円}$} \\\\\\ 楕円の接線に関する問題は,\ 楕円の接線の公式を利用するのが普通である. \\[.2zh] しかし,\ 本問では\bm{通る点と傾きを用いた直線と楕円が接すると考える.} \\[.2zh] すると,\ 最終的に直交条件\ \bm{(2直線の傾きの積)=-\,1}\ が利用できる. \\[1zh] 直線の式を設定するとき,\ \bm{y=ax+bの形ではx軸に垂直な直線は表せない}ことに注意する. \\[.2zh] 図より,\ 接線が楕円の頂点(\pm\,4,\ 0)を通るとき,\ その接線はx軸と直交する. \\[.2zh] よって,\ \bm{2直線の交点のx座標p=\pm\,4の場合は別個に考える.} \\[1zh] 設定した直線が楕円と接する条件を立式する.\ 連立してD=0とし,\ 整理すればよい. \\[.2zh] 上の解答では途中計算を省略しているが,\ 実際に\maru1まで整理するのは相当の計算力が要求される. \\[.2zh] すべて展開してゴリ押しするのも可能だが,\ 次のように処理できるよう訓練しておくべきである. \\[.2zh] ポイントは,\ mx-(mp-q)のように\bm{mp-qをまとめたまま計算する}ことである. \\[1zh]  \bunsuu{D}{4}=\{16m(mp-q)\}^2-(16m^2+9)\{(16(mp-q)^2-144\}=0 \\[.8zh]  両辺を16で割ると \{16m(mp-q)\}^2-(16m^2+9)\{(16(mp-q)^2-144\}=0 \\[.5zh]  よって 16m^2(mp-q)^2-(16m^2+9)(mp-q)^2+9(16m^2+9)=0 \\[.5zh]  ゆえに \teisei{16m^2(mp-q)^2}-\teisei{16m^2(mp-q)^2}-9(mp-q)^2+9(16m^2+9)=0\ \ \ (うまく消える) \\[.5zh]  両辺を9で割ると (mp-q)^2-(16m^2+9)=0 \\[.5zh] \ \ \,\,mで整理すると \ \ \,\,(p^2-16)m^2-2pqm+q^2-9=0 \cdots\cdots\maru1 \\[1zh] \maru1に16,\ 9という数字が出てきたのはたまたまではない. \\[.2zh] 一般に,\ 楕円\ \bunsuu{x^2}{a^2}+\bunsuu{y^2}{b^2}=1\ と接する条件は\ (p^2-a^2)m^2-2pqm+q^2-b^2=0\ となる. \\[1zh] よって,\ この形にならなければどこかで計算ミスしたことになる. \\[1zh] さて,\ p\neqq\pm4\,であるから,\ \maru1はmの2次方程式である. \\[.2zh] 仮に\maru1を解いたとすると,\ その\bm{解は点(p,\ q)から楕円に引いた2本の接線の傾き}を表す. \\[.2zh] このとき,\ 2本の接線の直交条件が\bm{解と係数の関係}で表現できる.\ 2次方程式を解く必要はない. \\[.2zh] p^2+q^2=25\ (p\neqq\pm\,4)を得るが,\ これを満たす全ての(p,\ q)が条件を満たす保障はない. \\[.2zh] 条件を満たす(p,\ q)とは,\ \maru1が\bm{異なる2個の実数解をもつ}ような(p,\ q)である. \\[.2zh] つまり,\ \bm{点(p,\ q)を通り楕円と接する直線が2本存在する}ことである. \\[.2zh] その条件は,\ \maru1の判別式をD’とすると,\ \bm{D’0}である. \\[.2zh] m_1m_2=\bunsuu{q^2-9}{p^2-16}=-1\ のとき\ q^2-9=-(p^2-16)\ であることを利用して確認する. \\[1zh] \bunsuu {D’}{4}=p^2q^2-(p^2-16)(q^2-9)=p^2q^2+(p^2-16)^20 \\[.8zh] \bm{p,\ qの値によらずD’0}であるから,\ p^2+q^2=25\ (p\neqq\pm\,4)上のすべての点が条件を満たす. \\[1zh] p=\pm\,4のときの交点は図より明らかに(4,\ \pm\,3),\ (-\,4,\ \pm\,3)である. \\[.2zh] この4点は\maru2でp\neqq\pm\,4として除外されていた点である. \\[.2zh] よって,\ この4点を含めると,\ 結局\bm{p^2+q^2=25上のすべての点が軌跡}となる. \\[1zh] 一般に,\ \bm{楕円\,\bunsuu{x^2}{a^2}+\bunsuu{y^2}{b^2}=1\,の直交する2本の接線の交点の軌跡は\textcolor{blue}{円\,x^2+y^2=a^2+b^2}}\ となる. \\[1zh] 放物線の直交する2本の接線の交点の軌跡は数\text{I\hspace{-.1em}I}で学習済みである. \\[.2zh] 例えば,\ y=\bunsuu{1}{4p}x^2\,の直交する2本の接線の交点の軌跡はy=-\,pとなる(下図). \\[.8zh] この軌跡は\bm{放物線の準線}に他ならない.\ これに対応し,\ 円x^2+y^2=a^2+b^2\,を\bm{\textcolor{blue}{楕円の準円}}という