逆像法ではその性質上、「方程式が少なくとも1つの実数解をもつ条件」に帰着することが多い。詳しくは 2次方程式の解の存在範囲 高難度の最終形態 へ。

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実数}$\textcolor{cyan}{t}を1つ決めると,\ それに対応する\textcolor{magenta}{直線}が1本定まる.$ \\  例えば,\ $\textcolor{cyan}{t=1}のとき,\ 直線\textcolor{magenta}{y=2x-1}\ となる.$ \\  つまり,\ $\textcolor{red}{y=2x-1を満たす全ての点(x,\ y)を通過する}ことが確定する.$ \\  試しにいくつかの$t$に対応する直線を図示すると以下のようになる. \\\\  何となく通過領域が予想できるが,\ 数式で明確に求めなければ不十分である. \\  しかし,\ $t$に無限にあるすべての実数を代入するわけにはいかない. \\  そこで,\ 逆像法を持ち出すのである. \\  $\textcolor{cyan}{t}に対応して直線が定まり,\ その\textcolor{magenta}{直線上の点が通過領域}となる.$ \\  逆に,\ $\bm{\textcolor{magenta}{通過領域内の点}には,\ 対応する\textcolor{cyan}{逆像t}が存在しているはずである.}$ \\\\  例えば,\ 座標平面上の点$\textcolor{magenta}{(1,\ -3)}$を通過するだろうか. \\  代入した$-3=2t-t^2\ (t^2-2t-3=0)を解くと,\ \textcolor{cyan}{t=-1,\ 3}を得る.$ \\  これは,\ $\textcolor{cyan}{t=-1,\ 3}のとき,\ \textcolor{magenta}{点(1,\ -3)を通過する}ことを意味する.$ \\  ちなみに,\ 対応する$tが2つあるので,\ 点(1,\ -3)は2回通過することになる.$ \\\\  では,\ 点$\textcolor{magenta}{(1,\ 3)}$を通過するだろうか. \\  より,\ 実数解が存在しない.$ \\  $tは実数であるから,\ \textcolor{red}{点(1,\ 3)に対応する逆像tが存在しない}ことになる.$ \\  これは,\ $\textcolor{red}{直線が点(1,\ 3)を通過しない}ことを意味する.$ \\\\  座標平面上の点は無限にあるから,\ 一般化し,\ 点を$(X,\ Y)$として考える. \\  に対応する逆像tが存在するよう(X,\ Y)の集合を定めればよい.}}$} \\\\ この$tの2次方程式が,\ \textcolor{red}{少なくとも1つ実数解をもつことと同値}である.$ \\[.2zh] 判別式\bm{求める領域は下図の斜線部分.\ 境界線を含む.}$} \\\\ (X,\ Y)とおいてもよいが,\ どうせ戻すので最初から(x,\ y)のまま計算する. \\ 実数tが存在するということは,\ 方程式が実数解をもつということである. \\ tがすべての実数をとるので,\ 条件は判別式D\geqq0だけで済む. \\ 本問は,\ \bm{数直線tの集合と座標平面上の点(x,\ y)の集合の対応}である. \\ \bm{「xとyの条件が,\ 残りの文字tの存在を追求して求まる」}という構造を要確認. に少なくとも1つ実数解をもつことと同値}である.$ \\\\ \phantom{ (1)}\ $[1]$\ $\textcolor[named]{ForestGreen}{0\leqq t\leqq1\ に2つの実数解(重解を含む)をもつ}とき$ \\[.5zh] \centerline{$\therefore [1],\ [2]\ より,\ \bm{求める領域は下図の斜線部分.\ 境界線を含む.}$} \\\\ \bm{tに範囲の制限があるので,\ 解の存在範囲(解の配置)問題に帰着}する. \\ 図示するとき,\ \bm{y=x^2とy=2x-1が接している}ことに注意する. \\ この種の問題では,\ 大抵接するはずなのでよく確認してから図示して欲しい.