(4)の問題が(x-1)2+(y-1)2=1となっていますが、(x-1)2+(y-1/2)2=1/4の誤りですm(_ _)m

inversion


  1. 点Aを動かしてみる。
  2. 直線BCを動かしてみる。点B、点Cを動かすと直線の傾きを変更できますし、点B、点C以外の部分をもつと直線全体を動かすことができます。直線が原点を通るように移動するとどうなるでしょう。都合上、点Bが原点に合わせやすいです。
  3. 円Dを動かしてみる。点E、点F、点Gを動かすと円の半径を変更できますし、点E、点F、点G以外の部分をもつと円全体を動かすことができます。円が原点を通るように移動するとどうなるでしょう。都合上、点Eが原点に合わせやすいです。
  4.  


検索用コード
原点Oと異なる点Pに対し,\ Oを端点とするPを通る半直線上にあり, \\[.2zh] \hspace{.5zw}$\mathRM{OP\cdot OQ}=4$\ を満たす点Qを考える. \\[.2zh] \hspace{.5zw}点Pが次の図形上を動くとき,\ 点Qの軌跡を求めよ. \\[1zh] \hspace{.5zw}(1)\ 原点を通る直線   $y=\bunsuu12x (原点を除く)$ \\[.8zh] \hspace{.5zw}(2)\ 原点を通らない直線 $2x+y-6=0$ \\[.5zh] \hspace{.5zw}(3)\ 原点を通る円    $\left(x-\bunsuu23\right)^2+\left(y-\bunsuu13\right)^2=\bunsuu{5}{9} (原点を除く)$ \\[.8zh] \hspace{.5zw}(4)\ 原点を通らない円  $(x-1)^2+(y-1)^2=1$ \\  定点Oを中心とする半径$r$の円がある. \\  \scalebox{.96}[1]{$\bm{\textcolor{red}{\mathRM{Oと異なる点Pを,\ 半直線OP上にあり,\ \textcolor{blue}{\mathRM{OP\cdot OQ=r^2}}となる点Qに移す.}}}$} \\  このとき,\ \textbf{\textcolor{cyan}{点P}}と\textbf{\textcolor{magenta}{点Q}}はこの\textbf{\textcolor[named]{ForestGreen}{円に関して対称}}である. \\  このような変換を\textbf{\textcolor{blue}{「反転」}}といい,\ $\bm{\mathRM{O}を反転の中心,\ rを反転の半径}$という. \\\\\\  この変換は,\ 次のような\textbf{\textcolor{purple}{図形的意味}}をもつ. \\\\ まず,\ \mathRM{OP=r\ のとき,\ OQ=r\ である.} \\ これは,\ \bm{円周上の点は円周上に移される(動かない)}ことを意味する. \\ 直線に関する対称移動においても,\ 直線上の点が移動しないのと同じである. \\[1zh] また,\ \mathRM{OP=\bunsuu{r^2}{OQ}}\ より,\ 線分\mathRM{OPと線分OQの長さは,\ 逆数のような関係にある.} \\ よって,\ \bm{\mathRM{点Pと点Qは,\ 一方が円の内部にあれば,\ 他方は円の外部にある.}} \\ さらに,\ \bm{\mathRM{点Pと点Qは,\ 一方が原点に近づくほど他方は無限遠まで離れていく.}} \\ つまり,\ \bm{円の内部の中心は,\ 円の外部の無限遠に対応する.}  「反転」といっても,\ 結局は\textbf{\textcolor{blue}{座標平面上の変換}}である. \\  よって,\ 解法は,\ 他の変換と全く同じ\textbf{\textcolor{red}{「逆に解いて元の条件に代入」}}である. \\\\\\ \mathRM{Q}(X,\ Y)の集合(未知)が求める軌跡である. \\ 今,\ \mathRM{P}(x,\ y)の集合と,\ 2点\mathRM{P,\ Qの関係式\ OP\cdot OQ=4}が既知である. \\ 集合\mathRM{Q}(未知)は,\ \bm{\underline{(x,\ y)を(X,\ Y)で表して}集合\mathRM{P}(既知)に代入}して求まる. \\[1zh] 半直線上にある条件はベクトルで考えるとわかりやすい. \\ ここで,\ もし\ \bekutoru{OQ}=k\bekutoru{OP}\ とすると,\ (X,\ Y)=(kx,\ ky)\ となる. \\ すると,\ 後で(x,\ y)=に変形する必要があり,\ 二度手間である. \\ よって,\ \bm{最初から(x,\ y)=となるよう\ \bekutoru{OP}=k\bekutoru{OQ}\ とする.} \\ 後は,\ \mathRM{OP\cdot OQ=4}からkを求めると,\ (x,\ y)が(X,\ Y)で表される. \\ 早い段階で,\ \bm{(x,\ y)\neqq(0,\ 0)\ と\ (X,\ Y)\neqq(0,\ 0)\ を確認}しておくこと. \\[1zh] が導かれる. \\ \mathRM{OP\cdot OQ=r^2}\ において,\ \mathRM{2点P,\ Q}が対等であることを考えれば当然である. \\[1zh] 上では早い段階で成分にしたが,\ 最後までベクトルのままいくとスマートである. \\ つまり,\ \bekutoru{OP}=(\mathRM{OP}の長さ)\times(\bekutoru{OQ}の単位ベクトル)\ として計算していく. \\ \bm{求まる直線は原点を通るので,\ これを除外する.} \\ 一般に,\ \bm{原点を通る直線は,\ 原点を通る直線(自分自身)に移される.} (原点を除く)}$} \bm{求まる円は原点を通るので,\ これを除外する.} \\ 一般に,\ \bm{中心を通らない直線は,\ 中心を通る円に移される.} \\ 直線の無限遠が円の中心に向かって丸まってくるのをイメージできるだろうか. \\ 円の中心は,\ 円の外部の無限遠と対応しているのである. 安易に分母を払わない}直線\ 2x+y-6=0}$} \\\\ 代入後の式変形が少し厄介であり,\ 手順を間違えると大変になる. \\ 展開後,\ \bm{\underline{分母が同じ項をまとめる}と約分できる.} \\ その後,\ 両辺にX^2+Y^2を掛けて整理する. \\[1zh] 一般に,\ \bm{原点を通る円は,\ 原点を通らない直線に移される.} \\ 本問の反転前の円は,\ (2)の反転後の円である. \\ \mathRM{OP\cdot OQ=r^2}\ という変換において,\ \mathRM{点P,\ Q}は対等である. \\ よって,\ \mathRM{点Pが点Qに移るとき,\ 点Qは点Pに移る.} \\ ゆえに,\ 本問は,\ (2)の逆の変換を行ったことになる. 一般に,\ \bm{原点を通らない円は,\ 原点を通らない円に移される.} \\ 本問は内部の円であるから,\ 外部の円に移る. \\ 反転の前後で,\ 点がどのように対応するかを要確認(相似拡大ではない).  以上から,\ 反転図形は,\ 次のようにまとめられる. \textcolor{cyan}{原点を通る直線}   \to \textcolor{magenta}{原点を通る直線(自分自身)} \\ \textcolor{cyan}{\underline{原点を通らない直線}} \to \textcolor{magenta}{\uwave{原点を通る円}} \\ \textcolor{cyan}{\uwave{原点を通る円}}    \to \textcolor{magenta}{\underline{原点を通らない直線}} \\ \textcolor{cyan}{原点を通らない円}  \to \textcolor{magenta}{原点を通らない円}