二項分布の平均・分散・標準偏差の公式とその応用

1回の試行で事象$A$が起こる確率が$p$の試行を$n$回行う反復試行において, 　事象$A$の起こる回数をXとすると,\ $X=r$となる確率は 　このとき,\ 確率変数$X}$は二項分布$B(n,\ p)}$に従うという.　Binomial distribution 二項分布という名称は,\ 反復試行の確率が二項展開式(数II})に現れることに由来する. 二項分布の平均・分散・標準偏差 　　確率変数Xが二項分布$B(n,\ p)$に従うとき E(X)=np V(X)=npq \ 1 & (k回目にAが起こる) \ 0 & (k回目にAが起こらない) \ (1≦ k≦ n)}と定める.$ 　　　　$このとき,\ k=1,\ 2,\ ･･･,\ nに対して　P(X_k=1)=p,\ \ P(X_k=0)=1-p$ 　　　　$よって　E(X_k)=1･ p+0･(1-p)=p$ 　　　　$n回の試行で事象Aの起こる回数はX=X_1+X_2+･･･+X_n\,で表されるから$ 　　　　$E(X)}=E(X_1+X_2+･･･+X_n)}$ 　　　　$E(X)=E(X_1)+E(X_2)+･･･+E(X_n)}=p+p+･･･+p=np}$ 　　　　$E({X_k}^2)=1^2･ p+0^2･(1-p)=p$ 　　　　$V(X_k)=E({X_k}^2)-\{E(X_k)\}^2}=p-p^2=p(1-p)=pq　(q=1-p)$ 　　　　確率変数$X_1,\ X_2,\ ･･･,\ X_n$は互いに独立}であるから 　　　　$V(X)}=V(X_1+X_2+･･･+X_n)}$ 　　　　$V(X)=V(X_1)+V(X_2)+･･･+V(X_n)}=pq+pq+･･･+pq=npq}$ \\ 証明できるようにした上で暗記しなければならない.\ ここでは最も簡潔で重要な証明を示した. 個数・回数の平均(期待値)を求めるとき,\ ダミー変数を導入する}とよいのであった(数 A:確率). ダミー変数とは,\ 事象Aが起こるか否かを1か0かで表す}ものである. 3回中1,\ 3回目にAが起こると,\ Aの起こる回数はX=X_1+X_2+X_3=1+0+1=2回となる. 反復試行なので,\ 何回目であれAの起こる確率はp,\ 起こらない確率は1-pである. よって,\ 何回目であれ1回分のダミー変数の平均はE(X_k)=pとなる. 後は,\ 和の期待値の公式E(X+Y)=E(X)+E(Y)}を利用してE(X)が求められる. 分散についても大筋は同じである. 和の分散の公式V(X+Y)=V(X)+V(Y)は,\ XとYが独立のときに成り立つ}のであった. 反復試行(同じ試行の繰り返し)なので,\ 各回に事象Aが起こるか否かは明らかに独立である. サイコロを60回振るとき,\ 1の目が出る回数Xの平均$E(X)$と分散$V(X)$を求 \ \ めよ. (2)\ \ 確率変数Xが二項分布$B(n,\ p)$に従い,\ その平均が100で分散が60であるとき, \ \ $n,\ p$の値を求めよ. \\ 　(1)\ \ 確率変数Xは二項分布$B-.2zw}60,\ 16$に従う}から \\数 Aでは証明の方法でE(X)を求めたが,\ 数 B学習後は公式を適用すれば済む. \ \ 1の目が出る確率は\,16\,なので,\ 60回振るときE(X)=10となるのは直感的にも納得できる. (2)\ \ 2つの条件を立式して連立するだけである. \ \ ただし,\ nは自然数,\ 0≦ p≦1という二項分布の条件を満たしているかの確認を要する.} このように,\ 二項分布であれば公式が適用できるので簡潔に済む. むしろ厄介なのは,\ 二項分布に似ているが二項分布ではない問題であり,\ 以下に取り上げておく. 点Pは,\ 原点を出発点として,\ $x$軸上をサイコロを1回振って1の目が出たときは \ \ 正方向に2進み,\ 1以外の目が出たときは負方向に1進む.\ サイコロを$n$回振った \ \ ときの点Pの$x$座標Xの平均$E(X)$と分散$V(X)$を求めよ. (2)\ \ $n$個のサイコロを同時に振り,\ $k$個のサイコロで1の目が出ると$2^k$点がもらえる \ \ とき,\ 得点Xの平均$E(X)$と分散$V(X)$を求めよ. \\ $k$回目にサイコロを投げたときの点Pの$x$座標の変化を$X_k$とする.確率変数$X_1,\ X_2,\ ･･･,\ X_n$は互いに独立}であるから しかし,\ X=0,\ 1,\ ･･･,\ nではないので二項分布とはいえず,\ 単純には公式は使えない. 二項分布の平均・分散の公式の証明と同様に,\ 1回ごとに分けて考える}と求められる(本解). E(X)は数 Aで学習済,\ V(X)も同様である. 反復試行なので,\ 1の目が出る回数を文字でおいて立式すると二項分布と結びつく}(別解). 式は仰々しいが内容的に難しくはなく重要な考え方なので,\ この方法も習得しておいてほしい. 1の目がk回出るとき,\ 1以外の目はn-k回出る. Xを求めた後,\ 定義に基づきE(X)をΣを用いて表し,\ Σを分割する. 変数はkなのでnは定数扱いであり,\ Σの前に出せる. V(X)を求めるにはE(X^2)が必要なので,\ E(X)と同様に計算する. V(Y)=E(Y^2)-\{E(Y)\}^2\,より,\ E(Y)とV(Y)を公式で求めるとE(Y^2)を逆算できる.} 　(2)\ \ $k$個のサイコロで1の目が出る確率は　 サイコロをn回振るのとn個振るのは同一視できる}から,\ 本問も反復試行である. しかし,\ X=kではなくX=2^k\,なので,\ 二項分布ではない.\ 定義に基づいてE(X)を立式する. 一見難しそうだが,\ 2^k\,と16^kがまとまる}ので,\ Σ{k=0}{n}C nka^{n-k}b^k=(a+b)^n}\,を適用できる. 一般に,\ (a^m)^n=(a^n)^m=a^{mn}\,が成り立つ(数II}). よって,\ (2^k)^2=(2^2)^k=4^k\,であり,\ E(X^2)も同様に求められる.