前項までですべての準備が整い,\ 本項から本題の「統計的な推測」に入る. \\[.2zh] これまでは,\ 母集団の情報(既知)を元に,\ 未知の標本について考察してきた. \\[.2zh] 例えば,\ 母平均が$m$であるとき,\ 標本平均の期待値も$E(\kyouyaku X)=m$となるのであった. \\[.2zh] しかし,\ 実用上は,\ 母集団が未知で,\ しかも全数調査が困難であることが多い. \\[.2zh] \textbf{\textcolor{purple}{標本を抽出してその情報を得て,\ それを元に母集団の情報(未知)を推定する}}ことになる. \\\\ 例として,\ 全国の高校生男子の身長の平均が知りたいとしよう. \\[.2zh] 150万人ほどいる高校生男子の全数調査は,\ 時間的にも労力的にも合理性を欠く. \\[.2zh] そこで,\ 無作為に100人を抽出して身長を測定すると,\ その標本平均が$\kyouyaku X$cmであった. \\[.2zh] このとき,\ 全国の高校生男子の身長の平均(母平均$m$)は何cm位と推定できるだろうか. \\[1zh] 100人は大きいから,\ \textbf{\textcolor{blue}{大数の法則}}より,\ \textbf{母平均$\bm{m}$は標本平均$\bm{\kyouyaku X}$に近い値である確率が高い.} \\[.2zh] それでも,\ 全数調査なくして厳密に母平均を求めることはできず,\ 区間推定することになる. \\[.2zh] しかし,\ どんな$a$であれ,\ 「絶対に$\kyouyaku X-a\leqq m\leqq\kyouyaku X+a$\,」と言い切ることは難しい. \\[.2zh] 低い確率ながら偶然に母平均$m$とかけ離れた100人が抽出される可能性もあるからである. \\[.2zh] \scalebox{.97}[1]{結局,\,\textbf{\textcolor{red}{どの程度信頼できるかを確率で表した区間$\bm{\kyouyaku X-a\leqq m\leqq\kyouyaku X+a}$を求める}}ことになる.} \\[.2zh] 確率大かつ誤差小が理想だが,\ \textbf{誤差と確率はトレードオフの関係にあるので両立できない.} \\[.2zh] 例えば,\ 「信頼度99.99\%で$166\leqq m\leqq174$」では区間が広すぎて実用性が低い. \\[.2zh] 一方で,\ 「信頼度50\%で$169.7\leqq m\leqq170.3$」では確率が低すぎて信頼できない. \\[.2zh] そこで,\ \textbf{信頼度を95\%として誤差と確率のバランスをとることが多い.} \\[.2zh] 「信頼度95\%で$169\leqq m\leqq171$」ならば有用性が感じられるのではないだろうか. \\[.2zh] 95に明確な数学的根拠はないので,\ 目的や状況によって何\%にするかを決めればよい. \\\\\\ 標本の大きさ$n$が大きいとき,\ $\kyouyaku X$は近似的に正規分布$N\hspace{-.2zw}\left(m,\ \bunsuu{\sigma^2}{n}\right)$に従う(\textbf{\textcolor{blue}{中心極限定理}}). \\[.2zh] よって,\ $Z=\bunsuu{\kyouyaku X-m}{\bunsuu{\sigma}{\ruizyoukon n}}$は近似的に標準正規分布$N(0,\ 1)$に従う. \\\\[.5zh] この$m$の区間を母平均$m$に対する\textbf{\textcolor{blue}{信頼度95\%の信頼区間}}といい, \\[.5zh] 信頼度は99\%で考えることも多く,\ 同様に計算すると1.96ではなく2.58となる. \\\\[1zh] 母平均$\bm{m}$の推定}}} \\\\ $m$に対する\信頼度95\%の信頼区間}} ※\ \ $\kyouyaku X:標本平均,\ \ n:標本の大きさ$,\ \ $\sigma :母標準偏差$ \\[.2zh] ※\ \ \textbf{\textcolor{magenta}{$\bm{n}$が大きいとき,\ 母標準偏差$\bm{\sigma}$を標本標準偏差$\bm{S}$で代用してよい.全国の高校生男子の中から無作為に100人を抽出して身長を測定したところ,\ その平均 \\[.2zh] \hspace{.5zw}は170\,cm,\ 標準偏差は5\,cmであった.\ 全国の高校生男子の平均身長を信頼度95\%と \\[.2zh] \hspace{.5zw}信頼度99\%で推定せよ.\ また,\ 信頼度95\%の信頼区間の幅を1cm以下にするには最低 \\ 信頼区間を公式として暗記しておき,\ 代入するだけである. \\[.2zh] ただし,\ 本問では\bm{母標準偏差\,\sigma\,が不明なので,\ 標本標準偏差S=5で代用する.} \\[1zh] 信頼区間の幅1.96\times\bunsuu{\sigma}{\ruizyoukon n}\times2を\,\bunsuu{1}{10}\,にしたければ,\ nを100倍にする必要がある. \\[1.3zh] また,\ 母標準偏差\,\sigma\,は一定値なので,\ 同じnに対しては信頼区間の幅1.96\times\bunsuu{\sigma}{\ruizyoukon n}\times2も一定である. \\[1zh] しかし,\ \bm{標本標準偏差Sは標本の選び方次第で変わる確率変数}である. \\[.2zh] よって,\ \bm{\sigma\,をSで代用する場合,\ 標本の選び方次第で信頼区間の幅1.96\times\bunsuu{S}{\ruizyoukon n}\times2も変わる.} さて,\ \textbf{信頼区間はその意味合いを誤解しやすい}ので注意しなければならない. \\[1zh] 上の問題で,\ 信頼度95\%の信頼区間が$[\,169.02,\ 170.98\,]$と求まった. \\[.2zh] これを次のように解釈するのは重大な誤りである.確率で変化する母平均$m$は,\ 95\%の確率で1つの区間$[\,169.02,\ 170.98\,]$内の値をとる. 母平均$\bm{m}$は母集団によって決まる定数であり,\ 確率で変化したりはしない.}}確率で変化するのは標本平均$\bm{\kyouyaku X}$,\ つまりは信頼区間の方である.}} \\[.2zh] 結局,\ 信頼度95\%の信頼区間の正しい解釈は次となる. 標本を抽出して信頼区間を求めることを100回繰り返す.}} このとき,\ 母平均$\bm{m}$を含む信頼区間が95個程度できる.150万人から100人を抽出する方法は$\kumiawase{150万}{100}$通り. 全てに対して信頼区間がそれぞれ求まり,\ それらの95\%が母平均$m$を含んでいる. [\,169.02,\ 170.98\,]$は信頼区間の1つを求めたにすぎない. これが$m$を含む信頼区間(全体の95\%)の1つなのか含まない信頼区間(全体の5\%)の1つなのかは神のみぞ知るが, 全数調査をして母平均$m$を求めたならばわかる
