確率変数の変換と標準化

確率変数$X$と定数$a,\ b$に対して,\ 確率変数$Y$を$Y=aX+b$とする. \\\\ 　期待値}}　　E(Y)=E(aX+b)=aE(X)+b}}$ \\[.5zh] 　分散}}　　V(Y)=V(aX+b)=a^2\,V(X)}}$ \\[.5zh] 標準偏差}}　\sigma(Y)=\sigma(aX+b)=\zettaiti a\,\sigma(X)}}$ \\\\ 数\text I:データの分析で学習した変数変換と同様である. \\[.2zh] 証明できるようにした上で,\ 公式として暗記しておくべきである. \\[1zh] \syoumei\ \ E(Y)=\retuwa{k=1}{n}y_kp_k=\retuwa{k=1}{n}(ax_k+b)p_k=a\retuwa{k=1}{n}x_kp_k+b\retuwa{k=1}{n}p_k=aE(X)+b \\\\ \syoumei\ \ Yの平均からの偏差\ \ y_k-E(Y)=(ax_k+b)-\{aE(X)+b\}=a\{x_k-E(X)\} \\[.5zh] \phantom{\syoumei}\ \ V(Y)=\retuwa{k=1}{n}\{y_k-E(Y)\}^2p_k=a^2\retuwa{k=1}{n}\{x_k-E(X)\}^2p_k=a^2\,V(X) \\\\ \syoumei\ \ \sigma(Y)=\ruizyoukon{V(Y)}=\ruizyoukon{a^2\,V(X)}=\zettaiti a\ruizyoukon{V(X)}=\zettaiti a\,\sigma(X) 確率変数$X$の期待値が600,\ 分散が2500である.\ \ $Y=aX+b\ (a>0)$で定まる \\[.2zh] \hspace{.5zw}\phantom{(1)}\ \ 確率変数$Y$の期待値が80,\ 標準偏差が10であるとき,\ 定数$a,\ b$の値を求めよ. \\[1zh] \hspace{.5zw}(2)\ \ 1回100円のゲーム代を払ってサイコロを1個振り,\ 出た目が$X$ならば$mX+n$円 \\[.2zh] \hspace{.5zw}\phantom{(1)}\ \ を受け取る.\ ただし,\ $m,\ n$は自然数である.\ \ 1回のゲームでの儲けを$Y$円とし, \\[.2zh] \hspace{.5zw}\phantom{(1)}\ \ $E(Y)=0$のとき,\ $V(Y)$の最小値とそのときの$m,\ n$の値を求めよ. \\[1zh] \hspace{.5zw}(3)\ \ 確率変数$X$について,\ 期待値$E(X)=m$,\ 標準偏差$\sigma(X)=\sigma$とする. \\[.2zh] \hspace{.5zw}\phantom{(1)}\ \ 確率変数$Z=\bunsuu{X-m}{\sigma}$について,\ $E(Z)=0,\ \sigma(Z)=1$となることを示せ. \\ E(Y),\ V(Y)は直接的に求めると大変なので,\ E(Y)=aE(X)+b,\ V(Y)=a^2\,V(X)を利用. \\[.2zh] 未知数2つに対して式はE(Y)=0の1つだが,\ 自然数という条件から(m,\ n)を特定できる. \\[.2zh] 数\text A:整数で学習した不定方程式であり,\ \bm{不等式を作成して範囲を絞り込む}とよいのであった. \\[.2zh] 係数の小さいnについて解くとより厳しく絞り込め,\ m=1,\ 2,\ \cdots,\ 28であるとわかる. \\[.2zh] V(Y)の最小はmの最小であり,\ m=1のときnは自然数にならないからm=2である. \\[.2zh] m,\ \sigma\,は定数なので,\ \bm{a=\bunsuu{1}{\sigma},\ b=-\bunsuu{m}{\sigma}}\,とみると,\ 単なる変換Z=aX+bにすぎない. \\[.8zh] \bm{変換Z=\bunsuu{X-m}{\sigma}}\,を\bm{確率変数Xの標準化}といい,\ 当分野最重要事項であることが後にわかる.