変数変換による平均値・分散・標準偏差・共分散・相関係数の変化

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最後の部分でruv=-sxy=-0.85とありますが、ruv=-rxy=-0.85の誤りですm(_ _)m

変量$x$に対して新たな変量$u=ax+b}$を定める.
変量${u}$の平均${ u}$,\ 分散$s_u}²}$,\ 標準偏差${s_u}$は${ x,\ {s_x}²,\ s_x}$と比べてどう変化するだろうか.
よって,\ 変量$x$を$a$倍した変量$u$の平均${ u}$は元の平均${ x}$を${a}$倍した値になる.
よって,\ 変量$x$に$b$加えた変量$u$の平均${ u}$は元の平均${ x}$に${b}$加えた値になる.
分散・標準偏差の前に偏差の変化について考えておく. 偏差${u_n- u}$は元の偏差${x_n- x}$の${a}$倍になる.\ $b$加えた分は偏差に影響しない.
分散$s_u}²}$と$s_x}²}$,\ および標準偏差${s_u}$と${s_x}$の関係をそれぞれ考える.2乗の根号をはずすと絶対値がつく.\ ただし,\ 標準偏差は常に正.}]$}
よって,\ 変量$u$の分散$s_u}²}$は元の分散$s_x}²}$の${a}$倍になる.
また,\ 変量$u$の標準偏差${s_u}$は元の標準偏差${s_x}$の${ a}$倍になる.
$b$加えた分は偏差に影響しないので,\ 偏差が元である分散と標準偏差にも影響しない.
さらに,\ 変量$y$に対して新たな変量$v=cy+d}$を定める.
変量${u,\ v}$の共分散${s_{uv$と相関係数${r_{uv$は${s_{xy},\ r_{xy$と比べてどう変化するだろうか.
まず,\ $u=ax+b$と同様にして次の関係を導くことができる. 共分散${s_{uv$と${s_{xy$の関係を考える.
よって,\ 変量$u$と$v$の共分散${s_{uv$は元の共分散${s_{xy$の${ac}$倍になる. 相関係数${r_{uv$と${r_{xy$の関係を考える.
$ややわかりづらいので場合分けすると
つまり,\ 変量$u$と$v$の相関係数${r_{uv$と元の相関係数${r_{xy$は絶対値が一致する.
変量${x,\ y}$に定数を掛けたり足したりしても相関の強弱は変化しないというわけである.
ただし,\ 変量${x,\ y}$の一方に負数を掛けると相関の正負が逆転する.平均値,\ 分散,\ 標準偏差,\ 共分散,\ 相関係数が既知である変量$x,\ y$に対し,\ 新たな変量
$u=2x+1,v=-y+3$を定めるとき, $u,\ v$の平均値,\ 分散,\ 標準偏差,\ 共分散,\ 相関
係数を求めよ.
変量の具体的な数値が与えられていないので,\ 直接計算して求めることはできない.
変換u=ax+b,\ v=cy+dにおいてそれぞれどう変化するかに着目して答える.
以下は理屈を理解した上で暗記しておくべきである.
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