変数変換u=x+yと分散の大小比較

2変量$x,\ y$に対して新たな変量${u=x+y$を定める. このとき,\ 分散$s_u}²,\ {s_x}²,\ {s_y}²}$の間に成り立つ関係を考える. 先に,\ より一般に$u=ax+by}$のときに成り立つ平均${ u}$と${ x,\ y}$の関係を考えておく. 偏差${u_n- u}$についても考えておく. さて,\ 以上を踏まえて${u=x+y}$のときの$s_u}²}$を計算してみよう.において$s_x>0,\ s_y>0$を考慮すると次の関係が導かれる.変量$x$の分散を${s_x}²=16$,\ 変量$y$の分散を${s_y}²=4$,\ $x$と$y$の相関係数を正とする. また,\ 新たな変量を$u=x+y$で定め,\ $u$の分散を${s_u}²$とする.  ${s_u}²$と${s_x}²+{s_y}²$の大小を比較せよ.  ${s_u}²$の取りうる値の範囲を求めよ. となることは理屈を理解した上で暗記しておく. 一般に,\ 大小比較するときは差を計算する. 標準偏差s_x,\ s_yは常に正であることと相関係数r_{xy}>0であることから大小がわかる. 相関係数が常に\ {-1 r1}\ の値をとることを考慮すると\ 0r_{xy}1\ である.=”” これを\=”” {s_u}²\=”” (=”{s_x}²+2r_{xy}s_xs_y+{s_y}²)\” の範囲に順番に変換していけばよい.=”” 各辺に2s_xs_y\=”” を掛けると 02r_{xy}s_xs_y2s_xs_y=”” さらに各辺に\=”” {s_x}²+{s_y}²\=”” を加えると {s_x}²+{s_y}²{s_x}²+2r_{xy}s_xs_y+{s_y}²{s_x}²+2s_xs_y+{s_y}²=”” こうして\=”” に関する不等式が導かれるので,\=”” s_x=”4,\” s_y=”2\” にも注意して代入する.
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