確率変数}} 試行の結果によって値が定まる変数. \\[.5zh] {確率分布}} 確率変数$X$のとりうる値$x_k$と,\ $x_k$となる確率$p_k$の対応関係. {確率の総和は1}\,]$ 期待値(平均)}} $\bm{\textcolor{red}{E(X)=x_1p_1+x_2p_2+\cdots\cdots+x_np_n=\retuwa{k=1}{n}x_kp_k}}$ \\\\ $E(X)=m$とするとき,\ $\bm{\textcolor{red}{X-m}}$を$X$の平均からの\textbf{\textcolor{blue}{偏差}}という. 分散}} $\bm{\textcolor{red}{V(X)=E((X-m)^2)=\retuwa{k=1}{n}(x_k-m)^2p_k}}$ 偏差の2乗の期待値}}\,]$ \\[.5zh] $\bm{\textcolor{red}{\phantom{V(X)}=(x_1-m)^2p_1+(x_2-m)^2p_2+\cdots\cdots+(x_n-m)^2p_n}}$ \\[.5zh] $\bm{\textcolor{red}{\phantom{V(X)}=E(X^2)-\{E(X)\}^2}}{(X^2\,の期待値)-(Xの期待値)^2}}\,]$ \\\\ \textbf{\textcolor{blue}{標準偏差}} $\bm{\textcolor{red}{\sigma(X)=\ruizyoukon{V(X)}}}$ 分散 期待値(平均),\ 分散の\text{E,\ m,\ V}は,\ \text{\textbf{E}xpectation(期待値),\ \textbf{m}ean(平均),\ \textbf{V}ariance(分散)}の頭文字. \\[.2zh] また,\ \text{standard deviation(標準偏差)の頭文字s}に対応するギリシャ文字が\,\sigma\,である. \\[1zh] 期待値(平均)は数\text A:確率で学習済み,\ 分散が偏差の2乗平均なのは数\text I:データの分析と同様. \\[.2zh] \bm{分散が平均値まわりの散らばりを意味する}ことも同じである. \\[1zh] 分散は偏差の2乗の期待値だが,\ 別公式およびその導出も重要である.\ Σを用いると簡潔に示せる. \\ \retuwa{}{}に慣れていない人のため,\ Xのとりうる値が3個の場合の例も示す. \\[-1.5zh] 白玉2個,\ 赤球3個が入った袋から同時に2個の玉を取り出す.\ 取り出された白玉の個 \\[.2zh] \hspace{.5zw}数を$X$とするとき,\ 確率変数$X$の期待値$E(X)$,\ 分散$V(X)$,\ 標準偏差$\sigma(X)$を求めよ. Xの値が0をとる確率をP(X=0),\ Xが1以上2以下の値をとる確率はP(1\leqq X\leqq2)と表す. \\[1zh] 分散は,\ 偏差X-mが整数のとき\retuwa{k=1}{n}(x_k-m)^2p_k,\ 整数でないときE(X^2)-\{E(X)\}^2\,が早い. n\geqq2$とする.\ 袋の中に2個の赤玉と$n-2$個の白玉が入っており,\ 元に戻さずに1個 \\[.2zh] \hspace{.5zw}ずつ取り出していく.\ \ 2個目の赤玉が$X$回目に取り出されるとき,\ $X$の期待値$E(X)$ \\[.2zh] \hspace{.5zw}と分散$V(X)$を求めよ(数B：数列). \\ いわゆるくじ引きの確率であり,\ 確率カテゴリで詳しく解説したので,\ ここでは簡潔な解説に留める. \\[.2zh] くじ引きの確率の求め方は複数あるが,\ \bm{○と×の並びに対応させる方法の汎用性が高い}のであった. \\[.2zh] n回のうち2回赤玉を取り出すことは,\ \underbrace{□□□\cdots□□□}_{nヶ所}\ から○が入る2ヶ所を選ぶことに等しい. \\\\[-1zh] このうちk回目に2個目の赤玉を取り出すのは,\ \underbrace{□□\cdots□□}_{○1個}\underbrace{○}_{k回目}××\cdots××\ となる場合である. \\\\[-1zh] これは,\ k-1ヶ所から○が入る1ヶ所を選ぶことに等しいから,\ \kumiawase{k-1}{1}\,通りある. \\[.2zh] なお,\ \kumiawase{k-1}{1}\,はk\geqq2のときに定義されるから,\ k=1の場合を分けている. \\[1zh] p_k\,さえ求まればE(X)とV(X)は単なるΣ計算であり,\ Σ公式適用後因数分解する方向で整理する. \\[.2zh] \retuwa{k=1}{n}k=\bunsuu12n(n+1) \ \ \retuwa{k=1}{n}k^2=\bunsuu16n(n+1)(2n+1) \ \ \retuwa{k=1}{n}k^3=\left\{\bunsuu12n(n+1)\right\}^2=\bunsuu14n^2(n+1)^2 \\\\ 自然数nの式で答えるとき,\ 簡単な値を代入してみることが一定の検算効果をもつ. \\[.2zh] n=2のときX=2となる確率が1であるから,\ 期待値は2,\ 分散は0となるはずである. \\[.2zh] 実際,\ E(X)=\bunsuu23(2+1)=2,\ V(X)=\bunsuu{1}{18}(2+1)(2-2)=0となる.
