前項の母平均の推定とほぼ同じである.\ まず,\ 母比率と標本比率の既習事項を示す.
特性Aの母比率$p}$\ \, 母集団の中である特性Aをもつ要素の割合.
特性Aの標本比率$R}$ 標本の中である特性Aをもつ要素の割合.
標本の大きさ$n}$が大きいとき,\ 標本比率$R}$は近似的に正規分布$N-.2zw}p,\ p(1-p)}{n$に従う.
前項と同様,\ 標本を抽出して得た標本比率の情報を元に母比率(未知)を区間推定する.
「信頼度95\%で$R-a≦ p≦ R+a$」となるような誤差$a$の値を求めよう.
$n$が大きいとき,\ $R$は近似的に正規分布$N-.2zw}p,\ p(1-p)}{n}$に従う(中心極限定理).
よって,\ $Z=R-p}{√{p(1-p)}{n$は近似的に標準正規分布$N(0,\ 1)$に従う. n}$が大きいとき,\ 大数の法則より$p}$と$R}$は近いので$p(1-p)をR(1-R)}$としてよいある工場で大量生産された製品の中から600個を抽出して検査したところ,\ 24個の不
良品が見つかった.\ 製品全体の不良品率を信頼度95\%で推定せよ.\ また,\ 信頼度95\%の
信頼区間の幅が1\%以下となるように推定するためには何個以上の検査が必要か. \\
ある工場で大量生産された製品の一部を検査して不良品率を調べる. 信頼度95\%の
信頼区間の幅が常に1\%以下となるように推定するためには何個以上の検査が必要か. \\
標本比率Rが不明}だが,\ とりあえずnについて解くと,\ 必要個数がRの値で変化するとわかる.
「\dot{常}\dot{に}1\%以下」なので,\ どんなRに対しても常にn≧392^2R(1-R)が成り立つ}必要がある.
結局,\ n≧[\,392^2R(1-R)の最大値\,]}であればよく,\ 2次関数の最大を求めることに帰着する.
本問から,\ 同じnに対しては,\ R=12=50\%のときに信頼区間の幅が広くなる}とわかる.
逆に,\ Rが0や1に近くなるほど信頼区間の幅が狭くなる.
実際,\ 前問のR=0.04のときは5901個以上の検査で済んだ.
母比率が五分五分に近いと予想される場合,\ 標本の大きさを大きくして慎重に調べる必要がある.}
