次の漸化式で定義される数列a_n}の一般項を求めよ.$ $ a₁=2,a₂=3,a_{n+2}=5a_n+4$ {1つおきの漸化式$特殊解型} 特殊解型であるから,\ 特殊解を求めて等比数列型に帰着させる. α=5α+4 より 特殊解\ {α=-1} 奇数項は\ a₁=2\ から始まる系列,\ 偶数項は\ a₂=3\ から始まる系列である. nが奇数か偶数かで場合分けして一般項を求める. 場合分けのとき,\ {自然数}\ mとnが対応する}ように設定するのが普通である. \ nが奇数のとき n=2m-1 & (m:自然数) nが偶数のとき n=2m & (m:自然数) 奇数を\ n=2m+1\ (m:0以上の整数)\ とすると,\ 偶数と整合性が取れなくなる. このような設定の結果,\ m,\ nが以下のように対応する. 以上を踏まえた上で,\ 一般項を求める. nが奇数のとき,\ a_n=a_{2m-1}\ とし,\ {まずmで一般項を表す.} その後,\ n=2m-1\ を\ {m={n+1}{2}\ と変形して代入し,\ nの式に戻す.} nが偶数の場合も同様に,\ まずmで表した後,\ nの式に戻す. 通常の等比数列の一般項\ a_n=ar^{n-1}\ と混同し,\ 次のように間違える学生が多い. nが奇数ならばa₁,\ a₃,\ なので,\ 本問ではa_nのnが最初からn項目であることを意味しない. もう一度上のmとnの対応表を見て欲しい. 1つとびであるから,\ {n=2m-1\ となるのは第m項目}である. 例えば,\ n=7となるのは,\ 第4項目であり,\ a_7=(初項)(公比)^{4-1}\ 等となる. よって,\ a_2m-1+1=35^m}-1}\ となる. 偶数の場合も同様に,\ {n=2m\ となるのは,\ 第m項目}である. とにかく,\ 1つおきに等比数列を成していることに注意してほしい. 本問では,\ 大まかな流れはわかっていても,\ mやnの細かい扱いでミスしやすい. そこで,\ 常に{検算}することを心掛けたい. {mやnに簡単な値をいくつか代入し,\ 問題と矛盾しないかを確認}すればよい. もし間違っていた場合にはすぐに気付くことが可能になる. これは本問に限らず,\ 検算が容易な数列分野全般でいえる話である.
