文系も知っておくべき楕円の式・グラフ・面積の円との関係

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ellipse
楕円のグラフは,\ 理系は馴染み深いが,\ 文系でも描けたほうがよい.  また,\ 理系でも円との関係を知っておく必要がある.  まず,\ 結論を簡潔に言おう.{楕円の式(標準形)は,aがx軸方向の半径,\ bがy軸方向の半径を表す.$  よって,\ ならば横長,\ならば縦長の楕円}となる.$  円と楕円のグラフの間には,\ どのような関係があるのだろうか.}  円は,\ $x²+y²=a²\ だが,\ 両辺をa)で割ると,\ {x²}{a²}+{y²}{a²}=1\ である.$  よって,\ 円は,\ 楕円の長半径と短半径が等しい場合とみなすことができる.  円\ ${x²}{a²}+{y²}{a²}=1$\ において,\ $y→ aby}とすると,\ 楕円\ {x²}{a²}+{y²}{b²}=1\ となる.$  これは,\ ${楕円が,\ 円をy方向に ba倍したものであることを意味している.$  $円:x²+y²=4\ をy方向に12倍してみよう.$   $y→2y} とすると x²+(2y)²=4 より x²+4y²=4$   両辺を4で割ると ${x²}{2²}+y²=1}  [右辺を1にして標準形にする}]$   よって,\ $x軸方向の半径は2,\ y軸方向の半径は1である.$   これを図示すると,\ 下図のようになる.  問題を解く上では,\ まず「楕円の式と認識できるか}」が重要である.}  ${px²+qy²=r\ の形の式で,\ {p=qならば円,\ p qならば楕円である.$  楕円であれば,\ 右辺が1になるように変形すると,\ 半径がわかるのである.  ついでに,\ 楕円の面積を覚えておくとよい.  円の面積が$π a²$に対して,\ 楕円の面積}は}${π ab$である.
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