次分数関数を${n}$回合成した関数${f_n(x)} このように同じ関数が繰り返されるから,\ 一般に$f_{n+3}(x)=f_n(x)}$が成り立つ. \ kを自然数とすると まず,\ 一般の1次分数関数についてのf_n(x)を高校範囲で求めるのは困難である. よって,\ 出題されるのは,\ {具体的に求めていくと容易に規則性が見つかる関数}である. このとき,\ f₃(x)=f₂(f₂(x)),\ f₄(x)=f₃(f₃(x)),と間違えやすいので注意してほしい. 正しくは,\ f₃(x)=f₁(f₂(x)),\ f₄(x)=f₁(f₃(x)),である. f₁(x)からf₂(x),\ f₂(x)からf₃(x)と求まっていくが,\ f₄(x)=f₁(x)となるから以降は循環する. このように答えてもよいが,\ 解答では自然数kを用いて表しておいた. k=1,\ 2,より,\ n=3k+1,\ n=3k+2とするとn=1,\ 2のときが含まれなくなるので注意. kを0以上の整数として,\ n=3k+1,\ n=3k+2,\ n=3k+3としてもよい. 想できるので,\ 数学的帰納法で証明する. { }$n=1}$のとき $f₁(x)=f(x)={x}{2x+1}$であるから成立する. $n=k}$のとき $f_k(x)={x}{2kx+1$であることを仮定する. であることを証明する.$n=k+1$のときも成り立つ. ,\ より,\ すべての自然数$n$について f₃(x)あたりまで計算するとf_n(x)が予想できるが,\ 予想はあくまで予想なので証明する必要がある. すべての自然数nについて成り立つことを示すためには,\ 当然{数学的帰納法}が有効である. n=1のときを示し,\ n=kのときを仮定し,\ その仮定を用いてn=k+1のときを示すのであった. 下線部は,\ 絶対に必要というわけではないが記述しておくことが推奨される. 最終目標がわかりやすくなり,\ さらには示せなかったとしても部分点の対称になりうる. f₁(x)からf₂(x)を求めたのと同様にして,\ 仮定f_k(x)からf_{k+1}(x)を求めることができる.
