1次無理方程式の実数解の個数(1次無理関数と直線の共有点の個数)

方程式${2x-1}=x+k$の実数解の個数を求めよ. {無理方程式の実数解の個数 与式の両辺を2乗して整理すると無理方程式の実数解の個数は,\ 数式だけで考えるのは難しく,\ リスクも大きいので図形的に考える. {2x-1}=x+kの実数解の個数は,\ 図形的にはy={2x-1}\ とy=x+kの共有点の個数である. y={2x-1}={2(x-12)}\ は,\ 頂点(12,\ 0),\ 定義域x12,\ 値域y0の無理関数である. y=x+kは,\ 傾き1\ (一定),\ y切片kの直線である. y切片kを変化させて,\ 共有点の個数がどのように変化するかを考えればよい. 図から明らかに,\ {接するときと頂点を通るときを境として共有点の個数が変化する.} よって,\ このときのkの値を求めることに帰着する. 接するときは判別式,\ 頂点を通るときは直接代入して求めればよい. とにかく,\ 元の式と2乗した式は同値ではないので,\ 安易にD>0のとき2個などとしないこと. 数式と図形の両方を利用するのが最も簡潔というわけである. \ 与式の両辺を2乗して整理するとを通る傾きkの直線である. 図より,\ {接するときと頂点を通るときとx軸と平行になるときを境として共有点の個数が変化する.} x軸と平行になるとき共有点1個,\ それより少しでも傾きが大きくなると共有点2個となる. 接するときのkをDで求めようとすると2つの値が出てくるので,\ 図形的に適切な方を選ぶ.
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