合成関数の方程式f(f(x))=xと不動点

多項式$f(x)$において$f(a)=a$が成り立つとき,\ $f(f(x))-x$が$x-a$で割り切れ ることを示せ. $f(x)=ax²+bx+c\ (a0)$のとき,\ $f(f(x))-x$が$f(x)-x$で割り切れることを 示せ. $f(x)=x²+3x-2$のとき,\ $f(f(x))=x$を満たす$x$の値を求めよ. 合成関数の方程式${f(f(x))=x}$と不動点 多項式が1次式x-aで割り切れることの証明は,\ 当然{因数定理}の利用である. つまり,{P(x)がx-aで割り切れるP(a)=0}なので,f(f(a))-a=0を示せばよい. {f(a)=aを2回適用する}ことで容易に示すことができる. さて,\ {f(x)=xを満たすx}をf(x)の{不動点}という. 本問から,\ f(a)=aならばf(f(a))=aであることがわかる. これは,\ {x=aがf(x)の不動点ならば,x=aはf(f(x))の不動点でもある}ことを意味する. fを1回適用して変化しないなら,f(f(x))やf(f(f(x)))のように複数回適用しても変化しない. 言い換えると,\ {方程式f(x)=xの解は方程式f(f(x))=xの解でもある.} 図形的に言うと,\ {y=f(x)とy=xの共有点はy=f(f(x))とy=xの共有点でもある.} で1次式x-aで割り切れることを示したが,\ より一般にはf(x)-xで割り切れる. f(x)が2次式ならばf(x)-xも2次式,\ f(x)が3次式ならばf(x)-xも3次式である. 普通に代入して筆算で割り算する別解も考えられるが,\ 非常に面倒で本質的ではない. 上手い解法があるので,\ 習得してほしい.\ 本問の解法と結果は暗記推奨である. {f(x)-x=g(x)とおき,\ g(x)の式に変換してからg(x)をくくり出す方向で整理する.} ax²+bx+c-xが残るが,\ これはf(x)-x,\ つまりg(x)である. 同様に考えると,\ {3次式以上の多項式であっても一般に成り立つ}ことがわかる. 本問の解法を技巧的に感じたかもしれないが,\ 整数分野ですでに同種の解法を学習済みである. 「4^{9}+2^{9}が3で割りきれることを示せ」という問題の扱いを覚えているだろうか. これくらいなら地道に計算することも可能だが,\ 指数部分が大きくなると対応できなくなる. 次のように,\ 無理矢理3の部分を作り出して二項定理を適用するのであった. 下線部は3の倍数なので,\ 残りを計算すると1^9+(-1)^9=0より,\ 全体も3の倍数である. 合同式を用いると瞬殺である.  4^9+2^9≡1^9+(-1)^9=0\ od3 整数ではなく多項式であっても,\ 基本的な考え方は同じである. 本問ならば,\ 無理矢理f(x)-xの部分を作り出して,\ 残りが割り切れることを示せばよい. 後は{f(x)-x}を1つのカタマリとみて展開・整理していくことになる. ただし,\ さすがにわかりづらいので,\ 一旦f(x)-x=g(x)とおいて計算したわけである. 整数の合同式と同様に,\ 多項式の合同式を考えることができる. f(x)が2次以上の式ならば,\ f(x)=g(x)+xのときf(x)をg(x)で割るとx余る. 整数の合同式と同様にして,\ これをf(x)≡ x\ (-.6zw}\mod g(x))\ と表すことができる. このとき f(f(x)})-x≡ f(x})-x≡ x-x=0\ (-.6zw}\mod g(x)) 代入してみると4次方程式となるが,\ 結果からわかるように{因数定理が通用しない.} よって,\ またはを利用しなければ因数分解することが困難である.\ より,\ f(f(x))-xはf(x)-x=x²+3x-2-x=x²+2x-2を因数にもつはずである. よって,\ (x⁴+6x³+8x²-4x-4)(x²+2x-2)を筆算する(省略)ことで因数分解できる. を利用すると回りくどくなる.\ まず,\ f(a)=aを満たすaを求める.\ つまり,\ 方程式f(x)=xを解く. f(x)-x=x²+2x-2=0の解は,\ x=-13\ である. よって,\ 4次式f(f(x))-xは,\ (x+1-3)と(x+1+3)\ で割り切れる. つまり,\ 4次式は(x+1-3)(x+1+3)=x²+2x-2を因数にもつ(以下同様).
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