逆関数の求め方とグラフ

x$に対して$y$が規則$f$によってただ1つ}に定まるとき,\ $f$を関数といい,\ $y=f(x)$と表す. 1対1の関数であるという.} $f(x)$が1対1の関数であるとき,\ $y$に対して$x$がただ1つ}に定まる. よって,\ $x$は$y$の関数であり, これを$x=f^{-1}(y)$と表す.${f^{-1$を${f}$の逆関数という. ${y=f(x)x=f^{-1}(y)$} ここまでならばわかりやすいのだが,\ 試験では「逆関数$f^{-1}(x)$を求めよ」と問われる. この場合,\ ${x=f^{-1}(y)}$の${x}$と${y}$を入れ替えて${y=f^{-1}(x)}$の形で答えるのが慣習である. 結局,\ 以下のような手順で機械的に逆関数を求めることになる. 逆関数の求め方 与えられた関数${f(x)}$の値域を調べる.\ これが逆関数${f^{-1}(x)}$の定義域になる. ${y=f(x)}$を${x=g(y)}$の形に変形する. [3]${x}$と${y}$を入れ替え,\ ${y=g(x)=f^{-1}(x)}$とする. 逆関数のグラフ ${y=f(x)}$と${y=f^{-1}(x)}$のグラフは,\ 直線${y=x}$に関して対称である. 逆関数の関係にある2つのグラフの代表格は,\ 以下の2例である. x=1は,\ 1つのxに対して無数のyが対応するから関数ではない. y=x²は,\ 1つのxに対してただ1つのyが対応するから関数である. しかし,\ x₁ x₂f(x₁) f(x₂)\ (xが異なればyも異なる)ではないから,\ 1対1ではない. 1つのyに対するxがただ1つに定まらないから,\ 1対1でない関数の逆関数は存在しない. x₁ x₂f(x₁) f(x₂)は,\ {対偶をとると\ f(x₁)=f(x₂)x₁=x₂}\ である. 「1対1」と「1対1対応」は別物で,\ 「1対1」は「単射」,\ 「1対1対応」は「全単射」を意味する. 1対1\ (単射)は,\ とりあえず単調増加・単調減少と考えておく. 高校生は,\ {単調増加関数・単調減少関数ならば逆関数が存在する}ことの認識が第一である. f^{-1}(x)は「エフインバースエックス」と読む.\ 逆関数は英語で「inverse\ function}」,\ 逆数は「inverse\ number}」である. f^{-1}(x)={1}{f(x)}\ ではないので注意する.\ ただし,\ (f^{-1})^{-1}=f\ ({逆関数の逆関数は元の関数})である. これは(2^{-1})^{-1}=2^{(-1)(-1)}=2^1=2などと酷似しており,\ 逆関数をf^{-1}と表すのにも納得がいく. 点(a,\ b)がy=f(x)上にあるとすると,\ b=f(a)が成り立つ. これは,\ b=f(a)a=f^{-1}(b)\ より,\ 点(b,\ a)がy=f^{-1}(x)上にあることに等しい. (a,\ b),\ (b,\ a)はy=xに関する対称点より,y=f(x)とy=f^{-1}(x)もy=xに関して対称である. y=x²は1対1ではないが,\ y=x²\ (x0)のように定義域を限定すると1対1になる. x0のときx={y}\ より,\ y=x²\ (x0)の逆関数はy= x\ である. y= x\ を変形するとx=y²\ で,\ 値域はy0であるから,\ 逆関数はy=x²\ (x0)\ である. 指数・対数関数は逆関数の関係にあるので,\ グラフがy=xに関して対称になるのは当然である. まず平方完成して値域を確認する.\ これが逆関数の定義域になる. 最後,\ xとyを入れ替えて答えればよい. x²-2x+y-2=0より,\ x=1{(-1)²-(y-2)}=1{-y+3}\ (解の公式)としてもよい. なお,\ 逆関数の値域は,\ 元の関数の定義域より-1 y1である.\ これはグラフの図示で役立つ. \ 逆関数は{y=(x-2)²+1(定義域:x2)}$] 無理関数の逆関数は,\ 定義域を忘れやすいので注意する. 後にまた取り上げるが,\ 対称性より以下のことがいえる. {y=f(x)とy=xが交点をもつとき,\ y=f^{-1}(x)もその交点を通る.} 分数関数の値域は,\ 分数関数のグラフで考える必要がある. y=1-{2}{x+1}\ は,\ 漸近線がx=-1,\ y=1で,\ 左上と右下に存在する双曲線である. よって,\ グラフより,\ x0のときの値域は-1 y<1である. y={x-1}{x+1}\ の分母をはらうと(x+1)y=x-1  xについて解くと\ (y-1)x=-(y+1) y=-{x+1}{x-1}=-{(x-1)+2}{x-1}=-1-{2}{x-1}\ の漸近線は,\ x=1,\ y=-1である.
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