1次分数関数と直線の共有点の個数(1次分数方程式の実数解の個数)

分数関数$y={2x-1}{x-1}$と次の直線の共有点の個数を求めよ.  $y=-2x+k$          $y=k(x-2)$ {分数関数と直線の共有点の個数 求める共有点の個数は,\ ${2x-1}{x-1}=-2x+k\ $の実数解の個数に等しい. { }の両辺に$x-1$を掛けて整理すると $2x²-kx+k-1=0}\ $ { }ここで,\ $x=1$はの解ではないので,\ との実数解の個数は等しい.} グラフにおける共有点の個数は,\ 数式的には連立方程式の実数解の個数である. 連立して実数解の個数を求めればよいが,\ とが同値ではないことに注意が必要である. 一般に,\ { AB=CA=BC\ かつ\ B0}\ である. B0がなければ,\ 両辺をBで割って戻せなくなるからである. よって,\ 本問の場合,\ {2x-1}{x-1}=-2x+k2x²-kx+k-1=0\ かつ\ x1\ である. ここで,\ 2x²-kx+k-1=0にx=1を代入すると1=0となるから,\ x=1はの解ではない. ゆえに,\ 2x²-kx+k-1=0\ かつ\ x12x²-kx+k-1=0\ である. x1は自明ではないので,\ 下線部を断っておいたわけである. こうして2次方程式の解の個数に帰着する.\ 当然,\ 判別式で求められる. 図形的意味をとらえておくことも重要である. 分数関数は,\ {2x-1}{x-1}={2(x-1)+1}{x-1}=2+{1}{x-1}\ より,\ 漸近線x=1,\ y=2の双曲線である. また,\ y=-2x+kは,\ 傾き-2,\ y切片kの直線である.\ つまり,\ 傾きが一定でy切片が変化する. k=422\ のとき1点で接し,\ 4-220,\ D=0,\ D<0をまとめて答える. y=k(x-2)は,\ x=2のときkの値によらずy=0となる. よって,\ {定点(2,\ 0)を通る傾きkの直線}を表す. k=-423\ のとき,\ 1点で接する. また,\ k=0\ (y=0)のとき漸近線と平行になるので,\ 1点で交わる. 同じ共有点1個をもつ場合でも,\ kの値の数式的な由来が違えば図形的意味も異なるわけである. さらに,\ 同じ共有点2個をもつ場合でも,\ 以下の違いがあることがわかる. k<-4-23\ のとき,\ 右上の部分と2点で交わる. -4+23
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