素因数分解の応用(約数の個数、平方数)(中3)

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yakusuu-heihousuu@2x
素因数分解を利用し,\ 60の約数をすべて求めよ. 60の約数の個数を求めよ. 整数の約数とその個数 と素因数分解できるとき その自然数の約数の個数は  60の約数とは60を割り切る整数である. 言い換えると,\ {60=(整数a)(整数b)\ で表されるときのaやb}である.\ a,\ bは1でもよい. 素因数分解により,\ 60は素因数2を2個,\ 素因数3を1個,\ 素因数5を1個もっているとわかる. aやbになりうるのはこれらの{素因数2,\ 2,\ 3,\ 5と1のうちいくつかを用いた積}である. もれがないように求めるには,\ 表を作成するとよい. 表は縦と横の2次元にしか書けないので,\ 60を2つの自然数の積と考えて表を作成する. {60=415より,\ 4の約数1,\ 2,\ 4を横に,\ 15の約数1,\ 3,\ 5,\ 15を縦に並べてかけ合わせるなどと考えて求めることもできる. しかし,\ 4つの数が重複する分だけ面倒になる. これは,\ 6と10のどちらもが約数2をもっており,\ 縦にも横にも2があることが原因である. よって,\ できる限り{共通の約数をもたないように2つに分けて表を作成する}べきである. 要は,\ 2²のような累乗を2つに分けなければよい. そう考えると,\ 例えば\ 60=(2²3)5=125\ と分割してもよい. のようにして約数をすべて求めてもよいが,\ 個数だけを答えればよいときは面倒である. そこで,\ {約数の個数を求める公式を覚えておく}とよい. {素因数分解し,\ 各素因数の指}数}に1を足した数の積}が約数の個数になる.\ 他の例を示す. より 72の約数の個数はある数を2乗すると次の数になった.\ 元の数を求めよ.平方数 64程度ならばすぐに\ 8²\ であることがわかるが,\ 数が大きくなると一見しただけではわからない. 数の正体を探るには限界まで分解してみるのがよい.\ つまり,\ 素因数分解して考えることになる. 素因数分解により,\ 2乗してできた441は3を2個と7を2個もっていることがわかる. 逆に考えると,\ {2乗する前の数は3を1個と7を1個もっていた}はずである. つまり,\ 元の数は37=21というわけである. 同様に,\ 2乗してできた1024が2を10個もっているなら,\ 2乗する前の数は2を5個もっている. ちなみに,\ ある整数を2乗(平方)してできる数を{平方数}という. 次の数にできるだけ小さい自然数をかけて平方数を作る.\ かけるべき自然数を求めよ. ただ単に平方数を作るだけならば,\ その数自身をかければよい. 例えば,\ 12には12をかければ平方数144\ (=1212)\ を作成できる. しかし,\ 本問は「できるだけ小さい自然数をかけて平方数を作る」である. 結局,\ 素因数分解して考えることになる. ここで,\ (整数)²\ の形で表される数が平方数である. この形で表せるための条件は,\ {素因数分解したときに各素因数が偶数個である}ことである. 例えば,\ 2²3⁴\ は2も3も偶数個あるから,\ 2²3⁴=(23²)²\ と表せる. 一方で,\ 一つでも奇数個の素因数があると\ (整数)²\ の形に表せない. 例えば,\ 2⁴3²5³\ は5が3個(奇数個)なので\ (整数)²\ の形で表せない. 以上を考慮すると,\ {各素因数が偶数個になるような数をかけると平方数を作ることができる.} 175は素因数7が1個(奇数個)なので,\ もう1個7をかけてやると2個(偶数個)になる. 求めるのはできるだけ小さい自然数であるから,\ 7以外の余計なものをかけてはならない. 素因数2,\ 3,\ 5がいずれも1個(奇数個)なので,\ すべてもう1個かけて2個(偶数個)にする. 結局,\ 元の数と同じ数をかけて平方数を作ることになる. 素因数2,\ 3,\ 7がいずれも奇数個なので,\ すべてもう1個かけて偶数個にする
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