正負の数の加法と減法、加減の混じった計算(中1)

seifu-kagen@2x
正負の数の加法同符号}の2数の和 → 2数の絶対値の和に共通の符号をつける 異符号}の2数の和 → 2数の絶対値の差に絶対値が大きい方の数の符号をつける まずは用語と規則をしっかりと理解する必要がある. 足し算を{加法}といい,\ その答えを{和}という.\ 引き算を{減法}といい,\ その答えを{差}という. 規則については文字で説明されただけではわかりにくいので,\ 具体的に問題を解きながら確認する. なお,\ 同符号とは文字通り同じ符号,\ つまり「+と+」または「-と-」のことである. また,\ 異符号とは文字通り異なる符号,\ つまり「+と-」または「-と+」のことである. +2と+3は同符号(正)であり,\ 絶対値はそれぞれ2,\ 3である. よって,\ 絶対値の和}\ 2+3=5に{共通する正の符号(+)}をつけ,\ +5となる. -3と-1は同符号(負)であり,\ 絶対値はそれぞれ3,\ 1である. よって,\ 絶対値の和}\ 3+1=4に{共通する負の符号(-)}をつけ,\ -4となる. +4と-2は異符号であり,\ 絶対値はそれぞれ4,\ 2である. よって,\ 絶対値の差}\ 4-2=2に{絶対値が大きい4の符号である+}をつけ,\ +2となる. なお,\ ここでいう絶対値の差とは,\ 絶対値の大きい数から小さい数を引いたものである. -4と+2は異符号であり,\ 絶対値はそれぞれ4,\ 2である. よって,\ 絶対値の差}\ 4-2=2に{絶対値が大きい4の符号である-}をつけ,\ -2となる. なぜこのような規則になるかは,\ 数直線上の移動(進む・戻る)として意味づけすると理解しやすい. {マイナス(-)にはプラス(+)と逆の意味合い}がある. よって,\ 「+2」を「2進む」と意味づけすると,\ 「-3」は「3戻る」を意味することになる. すると,\ 例えばの(-3)+(-1)は「3戻る」と「1戻る」を合わせることを意味する. これは結局「4戻る」,\ すなわち「-4」に等しいわけである. 要はこれだけの話なのだが,\ 数学的に言うと『絶対値の和に共通の符号をつける』などとなる. も同様である.\ (+4)+(-2)は「4進む」と「2戻る」を合わせることを意味する. これは結局「2進む」と同じことであるから「+2」となる. の(-4)+(+2)は「4戻る」と「2進む」を合わせることを意味する. これは結局「2戻る」と同じことであるから「-2」となる. これらを数学的に言うと『絶対値の差に絶対値の大きい方の数の符号をつける』となる. このように,\ 正負の数の加法は意味を考えて求めることもできる. しかし,\ いちいち意味を考えていてはあまりに時間のロスが大きく,\ 実際の試験では全く通用しない. {意味を考えずとも自然に答えを導けるまで演習を繰り返し,\ 規則に慣れてしまう}ことが重要である. 例えば,\ 2+3=5をいちいち意味を考えて求める中学生はほとんどいないだろう. これはもう理屈どうこうよりも計算とはそういうものだとして慣れてしまっているからである. (-4)+(+2)=-2\ なども「そういうものだ」「当然だ」と思えるまでに慣れてしまえばよい. 問題演習を繰り返してさえいれば,\ そのうち嫌でも慣れるはずである. なお,\ 足し算は順序を問わない.\ つまり,\ {○+△=△+○}\ ({加法の交換法則})が成立する. 例えば,\ (-4)+(+2)と(+2)+(-4)の結果はいずれも-2\ である. 正負の数の減法} プラスとマイナスには逆の意味合いがあることを利用して減法を加法に変換できる. 例えば,\ {(+1)を引く}ことは(-1)を足す}ことに等しい}. 同様に,\ {(-1)を引く}ことは(+1)を足す}ことに等しい}. つまり,\ {-(+○)=+(-○)},{-(-○)=+(+○)}\ と変換できる. 加法に変換してしまえさえすれば,\ 後は先に述べた正負の数の加法の規則で計算できる. }]$ さて,\ ここまでに正負の数の加法と減法についての基本を述べてきた. しかし,\ 実際には最初に括弧をはずす方法が最も実戦的である. そもそも括弧がつけてあったり正の符号がつけてあったりするのは最初だけである. 今後は不必要な括弧や正の符号はつけないのが普通になる. よって,\ 早いうちにそのような計算や記述になれてしまうことが重要になる. 最初に括弧をはずす以外は本質的にやっていることは先程までと同じである. まず,\ 括弧の前に何も符号がなければそのまま括弧を外してよい. また,\ {一番前の正の符号(+)は書かなくてよい.} 括弧の前に符号がある場合は次のような規則に従って括弧をはずす. {+(+○)=+○}  (+1を足すことは1を足すことに等しい) {+(-○)=-○}  (-1を足すことは1を引くことに等しい) {-(+○)=-○}  (+1を引くことは1を引くことに等しい) {-(-○)=+○}  (-1を引くことは1を足すことに等しい) 一見するとややこしいが,\ 難しく考える必要は全くない. 要するに,\ {同符号ならば+になり,\ 異符号ならば-になる}というだけである. 括弧をはずした後の計算は,\ 一番最初に述べた{同符号と異符号の和の規則}にしたがう. ,\ ,\ は小学生レベルなので問題ないだろう. ,\ は同符号(-)であるから,\ 絶対値を足した後-をつける. ,\ ,\ は異符号であるから,\ 絶対値を引いた後に大きい方の数の符号をつける. 特に,\ は結局は5-3=2である. ,\ 小数や分数であっても普通の整数と同じように計算すればよい. 分数は一見しただけでは絶対値の大小関係がわからないことが多い. その場合は{通分した後で絶対値の大小を判断}すればよい. とにかく,\ このような単純計算は理屈よりも{慣れとスピード}が重要である. 問題演習を繰り返し,\ これらが一瞬で解けるまでにさっさと慣れてしまおう. 当サイトでも今後はこの記述を標準とする. {加減の混じった計算 3つ以上の数の加法や減法であっても,\ 結局は1つずつ計算していくしかない. ただし,\ {順番を工夫}すると楽に計算できることがある. 足したり引いたりを交互に行うと計算ミスを誘発しやすい. よって,\ {足す部分と引く部分を別々に計算する}ことが推奨される. {加法の結合法則\ (○+△)+□=○+(△+□)}\ (どの2数を先に計算してもよい)の利用. 普段から{少しでも計算ミスを減らす,\ 時間を短縮しようと工夫する姿勢が重要}である. 今後計算の難易度が高く,\ 計算量が多くなってきたとき,\ とてつもない差になって現れる. 常に足す部分と引く部分を分ければいいというものでもない. うまく組み合わせると簡単な数になる場合はそれを利用すべきである. 整数と分数が混在する場合,\ {整数と分数に分けて計算する}とよい. ちなみに,\ 3-5+7も3+7-5として和を先に計算している. 分数の加減では{通分しやすい組み合わせを先に計算する}のも有効である.
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