公倍数と最小公倍数(中3)

次の各組の数の最小公倍数を求めよ. 公倍数と最小公倍数}いくつかの整数に共通する倍数{公倍数のうち最小のもの.\ ただし,\ 0は除く.公倍数と最小公倍数の関係 {すべての公倍数は最小公倍数の倍数 とりあえず素因数分解して考える. 36の倍数は2²3²\ の倍数である.\ つまり,\ 2²3²にさらに整数をかけたものである. 同様に,\ 240の倍数は2⁴35にさらに整数をかけたものである. 以上をふまえて,\ {素因数ごとに考える.} まず,\ 36は素因数2を2個,\ 240は素因数2を4個もっている. よって,\ 共通する倍数(公倍数)は少なくとも素因数2を4個もっているはずである. 素因数2を3個以下しかもっていない数は素因数2を4個もっている240の倍数にはなりえない. 同様に,\ 36は素因数3を2個,\ 240は素因数3を1個もっている. よって,\ 共通する倍数(公倍数)は少なくとも素因数3を2個もっているはずである. 素因数3を1個しかもっていない数は素因数3を2個もっている36の倍数にはなりえない. さらに,\ 240が素因数5を1個もっている一方で,\ 36は素因数5をもっていない. よって,\ 共通する倍数(公倍数)は少なくとも素因数5を1個もっているはずである. 以上から,\ {公倍数は少なくとも素因数2を4個,\ 素因数3を2個,\ 素因数5を1個をもっている.} それゆえ,\ {最小公倍数は最小限の素因数をかけ合わせた\ 2⁴3²5\ となる}わけである. 以上のすべてをふまえると,\ 最小公倍数は次のようにして求められることがわかる. 「{素因数分解し,\ 各素因数ごとに指数が最も大きいものを取り出してかけ合わせる」 の3つの数28,\ 42,\ 98の最小公倍数を求める場合も同様である. 素因数2は28による最低2個,\ 3は42による最低1個,\ 7は98による最低2個を要する. {共通する素因数のみを取り出してかけ合わせる最大公約数との違い}も意識しておいてほしい. 例えば,\ 36=2²3²\ と240=2⁴35\ の最大公約数は2²3=12\ である. ある駅から,\ A駅に向かう電車が8分ごと,\ B駅に向かう電車が12分ごと,\ C駅に向か う電車が15分ごとに発車している.\ 始発が午前5時であるとき,\ 次に各駅に向かう電 車が同時に発車する時刻を求めよ.次に同時に発車する時刻は午前5時の120分後}であるから ${午前7時} 同時に発車するのは,\ 8,\ 12,\ 15の倍数が一致したときである. よって,\ 次に電車が同時に発車するまでにかかる時間は{「8,\ 12,\ 15の最小公倍数」分}である. 問われているのは「時間」ではなく{「時刻」}であることに注意して答える. 縦42cm,\ 横54cmのタイルをすき間なくすべて同じ向きに並べてできる限り小さい 正方形を作る.\ 1辺の長さは何cmになるか.\ また,\ 全部で何枚のタイルが必要か.縦10枚,\ 横8枚並ぶ. よって 1辺の長さ\ 420cm, 必要なタイル 縦と横が同じ長さになるよう並べる.\ そうなるのは,\ 42と54の倍数が一致するときである. できる限り小さい正方形となるのは,\ 1辺の長さが42と54の最小公倍数となるときである. のうちどの数で割っても7余る自然数の中で最も1000に近い数を求めよ. {「ある数を24で割って7余る」ことは「ある数より7小さい数は24で割り切れる」ことに等しい.} {「ある数を28で割って7余る」ことは「ある数より7小さい数は28で割り切れる」ことに等しい.} {「ある数を36で割って7余る」ことは「ある数より7小さい数は36で割り切れる」ことに等しい.} よって,\ まず24,\ 28,\ 36のすべてで割りきれる数,\ つまり24,\ 28,\ 36の公倍数を求めることになる. すべての公倍数は最小公倍数の倍数であるから,\ 先に最小公倍数を求める. 求める数より7小さい数が24,\ 28,\ 36の公倍数なので,\ 求める数は公倍数に7を足した数である. 最小公倍数504の倍数の中で7を足して最も1000に近くなるのは1008である.

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