次の各組の数の最大公約数を求め,\ さらに公約数をすべて求めよ. 公約数と最大公約数}{いくつかの整数に共通する約数}公約数のうち最大のもの{公約数と最大公約数の関係{すべての公約数は最大公約数の約数 共通する約数が公約数であるから,\ 実際に共通する素因数で順番に割っていけばよい. 共通する素因数がなくなったところで終わりである.\ {割った素因数の積が最大公約数}となる. ならば,\ 210と462の両方を割り切る最も大きい数が42であることが求まったことになる. 素因数分解の場合とは異なり,\ 小さい素数から順に割っていく必要はない. 別解のようにより大きい数で割っていけば,\ 76=42と素早く求められる. もう1つの別解は{素因数分解を利用}するものである. 210と462を素因数分解し,\ {共通する素因数をすべて取り出してかけ合わせる}と最大公約数となる. 210と462が42で割り切れるならば,\ 42の約数でも割り切れるはずである. よって,\ すべての公約数は42の約数を考えれば求められる. 約数に対称性があることを知っていると,\ すべての約数を書き出しやすくなる. 下のように,\ 左右対称にかけ算すると元の数になる. 割っていいのは3つの数すべてに共通する素因数である. よって,\ 2,\ 4,\ 9をこれ以上割ることはできない.\ 2と4を2で割ってはいけない. 素因数分解すると,\ 3つの数に共通する素因数は2が2個,\ 7が1個であるとわかる. あめ36個,\ チョコ54個,\ アイス90個を,\ 余らないようにできる限り多くの子供に等し く分け与える.\ 何人の子供に何個ずつ分けることができるか. \ $よって,\ {18人の子供にあめ2個,\ チョコ3個,\ アイス5個を分けることができる.}$ $[l} {子供の人数が36,\ 54,\ 90の公約数ならば,\ 余らないように分け与えることができる.} しかもできる限り多くの子供であるから,\ 結局は最大公約数を求めればよいことになる. 何個ずつかは各個数を最大公約数の18で割ればわかる. 改めて計算し直さなくても,\ 最大公約数を求める過程で同時に求まる. 縦245cm,\ 横420cmの床を同じ大きさのできる限り大きい正方形のタイルですき間な くしきつめる.\ 1辺の長さが何cmのタイルを縦と横にそれぞれ何個ずつしきつめるこ とになるか. $} より 245と420の最大公約数は\ $57}=35$ $よって,\ {1辺の長さ35cm}のタイルを縦7個,\ 横12個しきつめる.}$ $[l} {1辺の長さが245と420の公約数ならば,\ 縦も横もすき間なくしきつめることができる.} しかもできる限り大きいタイルであるから,\ 結局は最大公約数を求めればよいことになる. 何個ずつかは床の縦と横の長さをそれぞれ最大公約数の35で割ればわかる. 改めて計算し直さなくても,\ 最大公約数を求める過程で同時に求まる. {「74を割ると2余る」ことは「72を割ると割り切れる」ことに等しい.} {「100を割ると4余る」ことは「96を割ると割り切れる」ことに等しい.} よって,\ 求める自然数は72と96を両方割り切ることができる数,\ つまり72と96の公約数である. 先に最大公約数を求め,\ その後で最大公約数の約数を考えるとすべての公約数が求められる. 最後,\ {割り算したときの余りは必ず割る数よりも小さくなる}ことに注意して答える. 「4余る」より,\ 求める自然数は4より大きい数である.\ 1,\ 2,\ 3,\ 4で割って4余ることはありえない.
