因数分解とその公式（中３）

次の式を因数分解せよ. 多項式をいくつかの因数の積として表すことを因数分解するという.\ {要は展開の逆}である. 展開の基本は,\ 分配法則\ a(b+c)=ab+ac\ の適用であった. よって,\ {因数分解の基本は,\ 分配法則の逆\ ab+ac=a(b+c)\ の適用}である. つまり,\ {共通因数(多項式のす}べ}て}の項に共通する因数)をす}べ}て}くくりだす}ことになる. ab+ac=a(b+c)\ だとわかりにくいならば,\ {○△+○□=○(△+□)}\ と考えるとよい. 因数分解には公式の適用など複数の手法があるが,\ {常に「共通因数をくくりだす」が最優先}である. 共通因数aとcを両方くくりだす.　ac b+ac d=ac(b+d) すべての項に共通する因数は3xyである. 共通因数をすべてくくりだして初めて因数分解が完了したといえる. よって,\ 6x²y-12xy²+9xy=xy(6x-12y+9)\ などでは不十分である. また,\ 因数分解は{多項式全}体}を因数の積で表す}ことである. よって,\ 次のように一部だけを積で表すのは{誤り}であり,\ 因数分解したことにはならない. 共通因数はa+bである.\ これを1つのものとみてくくりだす. わかりにくいならば,\ 慣れるまでは1つの文字で置き換えて考えるとよい. {かっこの前の符号を変えるとかっこの中の符号も変わることを利用}して共通因数を作り出す. と同様にすると共通因数a-2bを作り出すことができる.\ a-2b=Aとおく. なお,\ {AからAをくくりだすと残るのは1である.}　 最後,\ 必要のないかっこははずしておく. 展開と因数分解は逆の関係にあるから,\ 展開公式を逆に用いるとそのまま因数分解公式となる. (a+b)²\ の展開が\ a²+2ab+b²\ ならば,\ 逆に\ a²+2ab+b²\ の形の式は\ (a+b)²\ と因数分解できる. 数学では逆も重要である.\ しかし,\ 一方が容易でもその逆が容易であるとは限らない. 展開は順番にかけていけば必ずできるが,\ 因数分解は正しい手順でやらなければ難しい. 因数分解には経験と慣れも必要であり,\ 繰り返し問題演習する必要がある. x²+6x+9=x²+2 x 3+3²\ より,\ a²+2ab+b²\ の形(a→x,\ b→3)である. よって,\ (a+b)²,\ つまり\ (x+3)²\ と因数分解できる. この因数分解を行うには,\ まず与式がa²+2ab+b²\ の形であることを見抜く必要がある. 着目すべきは,\ {2次の項と定数項}である.\ x²と9は,\ それぞれxと3の2乗である. この時点で公式の形ではないかと疑う必要がある. xと3の積を2倍すると6xになることから,\ x²+6x+9\ に公式が適用できるとわかる. 2次の項の係数が1ではない場合はより気付きにくくなる. ただし,\ 4x²と9が2xと3の2乗であることに着目すると気付ける. 2次の項の係数が負である場合,\ {最初に全体から-をくくりだす}とよい. 因数分解では{共通因数があればまずそれをくくり出すのが常に最優先}である. (2乗)-(2乗)の形であることさえ見抜ければ,\ 和と差に因数分解できる. 他の因数分解公式に比べると,\ 気付くのは簡単である. 4x²y²-64z²=(2xy)²-(8z)²\ とみて因数分解することも可能ではある. しかし,\ 共通因数をくくりだすのが常に最優先である. 複雑な問題になるほど,\ 最初に余計なものをくくりだしておかなければ後が非常に大変になる 最後,\ 必要のないかっこははずしておく. これを逆に考えると,\ x²+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)\ と因数分解できる. x²+5x+6\ ならば,\ a+b=5,\ ab=6\ である. よって,\ 足して5,\ かけて6になる2組の整数a,\ bがあれば\ (x+a)(x+b)\ と因数分解できる. 先に積を考える.\ 和が5になる2組の整数は無限にあるが,\ 積が6になる2組の整数は限られる. 実際,\ かけて+6になる2組の整数は,\ 1と6,\ 2と3,\ -1と-6,\ -2と-3の4通りである. この中で足して+5になるのは2と3であるから,\ (x+2)(x+3)\ と因数分解できる. 足して-5,\ かけて+6になる2組の整数は-2と-3である. 足して-5,\ かけて-6になる2組の整数は-6と1である. 足して-7y,\ かけて12y²になる2組の数は-3yと-4yである. 同じ部分を1つの文字で置き換えて考えると,\ 一度も展開することなく因数分解できる. 同じ部分を1つの文字で置き換えた後に一旦展開する必要がある.