検索用コード
数列\suuretu{a_n}の初項から第n項までの和をS_n\,とする.$ \\[.2zh] \hspace{.5zw}$次の式が成り立つとき,\ 一般項a_n\,を求めよ.$ \\[1zh] \hspace{.5zw}$ (1)\ \ S_n=3a_n-2n$     (2)\ \ $S_1=1,\ \ S_{n+1}-3S_n=2^{n+1}-1$ [琉球大] \\
和S_n\,を含む漸化式}}$}} \\\\[.5zh] \textbf{\textcolor{red}{$\bm{a_n}$または$\bm{S_n}$のみの式にする}}と,\ \textbf{\textcolor{blue}{他の型に帰着}}する. \\[.2zh] このとき,\ $\bm{\textcolor{cyan}{和と一般項の関係}\
まず,\ n=1\ の場合を考える.\ a_1=S_1\,を利用すると,\ 初項a_1\,が求まる. \\[.2zh] a_n\,のみの漸化式にするため,\ a_{n+1}=S_{n+1}-S_n\,に問題の漸化式を代入する. \\[.2zh] もしa_n=S_n-S_{n-1}\,を用いようとすると,\ n\geqq2とする必要が生じる. \\[.2zh] n=1のとき,\ S_{n-1}=S_0\,となってしまうからである. \\[.2zh] この場合分けが生じると面倒なので,\ a_{n+1}=S_{n+1}-S_n\ を用いたわけである. \\[.2zh] 本問の場合は,\ 特殊解型漸化式に帰着する. \\[1zh] S_n\,のみで表す方針で求めることも可能ではある. \\[.2zh] 問題の漸化式より,\ S_{n+1}=3a_{n+1}-2(n+1)\ である. \\[.2zh] a_{n+1}=S_{n+1}-S_n\ を代入すると S_{n+1}=3(S_{n+1}-S_n)-2(n+1) \\[.2zh] 整理すると S_{n+1}=\bunsuu32S_{n}+n+1 \\[.8zh] これはn次式型漸化式であり,\ 特殊解型よりも面倒である. \\[.2zh] 普通に考えて,\ a_n\,を求めたいならばa_n\,のみの式にするのが自然であろう. \\[.2zh] a_n\,のみの式にするのが困難な場合にS_n\,のみの式にすることを考えるとよい..
(1)のようにS_n=の形にできるならば容易にa_n\,のみの式にできるが,\ (2)は同様にはいかない. \\[.2zh] このような場合,\ \bm{階差をとってみる}のが基本である. \\[.2zh] とりあえず階差をとってみるという考え方は,\ 本パターンだけでなく,\ 漸化式の問題で広く通用する. \\[.2zh] 具体的には,\ \bm{nをn+1にした漸化式から元の漸化式を引く.} \\[.2zh] このときS_{n-1}\,が出てくるので,\ n\geqq2としておかなければならない. \\[.2zh] そして,\ S_{n+1}-S_n=a_{n+1},\ \ S_n-S_{n-1}=a_n\,を適用する. \\[.2zh] a_n\,の漸化式が導かれるが,\ これはn\geqq2のときなのでn=1のときの確認が必要である. \\[.2zh] S_2=a_1+a_2\,に注意してa_2\,を求めると,\ a_{n+1}-3a_n=2^n\,がn=1のときも成り立つことがわかる. \\[.2zh] こうして,\ 指数型漸化式a_{n+1}=pa_n+r^n\,に帰着する. \\[.2zh] この型は両辺をr^{n+1}\,で割ると特殊解型に帰着するのであった. \\[.2zh] \bunsuu{3a_n}{2^{n+1}}=\bunsuu32\cdot\bunsuu{a_n}{2^n}\,とみなして置換することになる.