sum

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{a_n}$または$\bm{S_n}$のみの式にする}}と,\ \textbf{\textcolor{blue}{他の型に帰着}}する. \\[.2zh]  このとき,\ $\bm{\textcolor{cyan}{和と一般項の関係}\ \textcolor{red}{a_1=S_1,\ \ a_{n+1}=S_{n+1}-S_n}}を用いる.$ \\\\\\  $よって a_{n+1}=3a_{n+1}-3a_n-2 より \textcolor{red}{a_{n+1}=\bunsuu32a_n+1} [\textcolor{blue}{特殊解型}]$ \\[.2zh]  $\textcolor{blue}{\suuretu{a_n+2}は,\ 初項\ a_1+2=1+2=3,\ 公比\bunsuu32の等比数列}である.$ \\ まず,\ n=1\ の場合を考える.\ a_1=S_1\ を利用すると,\ 初項が求まる. \\ a_nのみの式にするため,\ a_{n+1}=S_{n+1}-S_n\ に問題の漸化式を代入する. \\ a_n=S_n-S_{n-1}\ は,\ n\geqq2\ として用いる必要がある. \\ 数列の添え字は1以上になるようにしなければならないからである. \\ この場合分けが生じると面倒なので,\ a_{n+1}=S_{n+1}-S_n\ を用いたわけである. \\ 本問の場合は,\ 特殊解型に帰着する. \\[1zh] S_nのみで表す方針で求めることも可能である. \\ 問題の漸化式を\ S_{n+1}=3a_{n+1}-2(n+1)\ とする. \\ a_{n+1}=S_{n+1}-S_n\ を代入すると S_{n+1}=3(S_{n+1}-S_n)-2(n+1) \\ 整理すると S_{n+1}=\bunsuu32S_{n}+n+1  [\bm{\textcolor{blue}{n次式型}}] \\ 特殊解型よりも面倒なn次式型に帰着する. \\ また,\ S_nからa_nに戻す必要もあるので,\ 本問ではこの方針は避けたほうがよい.