particular-solution

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応用的な漸化式は,\ \textbf{\textcolor{purple}{等差・等比・階差型のどれかに帰着させて解く.}} \\  よって,\ その\textbf{\textcolor{purple}{帰着させるための方法を覚えておく}}ことが重要である. \\[1zh]  特殊解型漸化式は,\ その方法が2通り考えられる. \\  いずれも,\ \textbf{\textcolor{purple}{邪魔な$\bm{q}$を消去し,\ 等比数列型に帰着させる}}ための変形である. \\\\\\  $[1]$\ $\textcolor{magenta}{\textbf{\textcolor{blue}{特性方程式}} \bm{\alpha=p\alpha+q}}$ を解き, $\bm{\textcolor{green}{特殊解\ \alpha}}$ を求める. \\[.2zh]   \ \ 特性方程式は,\ 元の漸化式において,\ $\textcolor{cyan}{a_{n+1}=a_n=\alpha}\ とした$ものである. \\[.2zh]   \ \ 次に,\ \textbf{\textcolor{red}{元の式から,\ 元の式の$\bm{a_{n+1}とa_n}$に特殊解を代入した式を引く.}} \\[.5zh]   \ \ これは,\ \textbf{\textcolor{blue}{$\bm{a_n-\alpha=b_n}$\ とおくと,\ 等比数列型\ $\bm{b_{n+1}=pb_n}\ $}}である. \\   \ \ よって $a_n-\alpha=(a_1-\alpha)\cdot p^{n-1}$ {\normalsize $[\textcolor{brown}{初項a,\ 公比rの等比数列 ar^{n-1}}]$} \\[.2zh] 特性方程式は,\ 受験数学特有の技巧と考え,\ 答案には書かない方がよい. \\[1zh] なぜ,\ a_{n+1}=a_n=\alpha\ として特殊解を求めるのだろうか. \\ 漸化式を解くには,\ 何とかして\ \textcolor{cyan}{\underline{\textcolor{brown}{下線部の式(等比数列型)}}}\ に変形できればよい. \\ 下線部の式を展開し,\ 逆からさかのぼる. a_{n+1}=pa_n+\alpha(1-p)\ \\ これが元の式と一致するためには,\ \alpha(1-p)=q\ でなければならない. \\ つまり,\ \alpha=p\alpha+q\ であり,\ これを満たすように\ \alpha\ を定めればよいことになる. \\ この式は元の漸化式において,\ a_{n+1}=a_n=\alpha\ として導くことができる.  $[2]$\ \textbf{\textcolor{red}{階差$\bm{a_{n+2}-a_{n+1}}$をとる}}と,   \ \ $よって \bm{\textcolor{red}{a_{n+1}-a_n=(a_2-a_1)\cdot p^{n-1}}}$ \\[.5zh]   \ \ $これは,\ \bm{\textcolor{blue}{階差数列型\ a_{n+1}-a_n=f(n)}}\ である.$ \\ \\\\\\  $[1]$\ \ [\textbf{\textcolor{blue}{特性方程式を利用(必須)}}] \\[.5zh]   $a_{n+1}=3a_n+4 より \textcolor{red}{\underline{a_{n+1}+2}=3(\underline{a_n+2})}$ \\[.5zh]   $\textcolor{blue}{\suuretu{a_n+2}は,\ 初項a_1+2=5+2=7,\ 公比3の等比数列}である.$ \\[.2zh] \bm{特性方程式\ \alpha=3\alpha+4}\ より,\ \bm{特殊解\ \alpha=-2} \\ 特殊解を\ \bm{a_{n+1}-\alpha=p(a_n-\alpha)\ (丸暗記しておくべき)}\ に代入した式を書く. \\ すると,\ \bm{\suuretu{a_n+2}が等比数列}となるから,\ 等比数列の一般項を求めればよい. \\ 初項a,\ 公比rの等比数列の一般項は ar^{n-1} \\[1zh] \suuretu{a_n+2}を考えたが,\ わかりにくければ一旦置換するとよい. \\ \text{$よって b_{n+1}=3b_n   ゆえに,\ b_nは公比3の等比数列である.$} \\  $[2]$\ \ [\textbf{\textcolor{blue}{階差をとる(考え方は自然だが遠回り)}}] \\[.5zh]   $\textcolor{blue}{\suuretu{a_{n+1}-a_n}は,\ 初項a_2-a_1=19-5=14,\ 公比3の等比数列}である.$ \\[.5zh]   $よって \textcolor{red}{a_{n+1}-a_n=14\cdot3^{n-1}}$   {\normalsize $[\textcolor{blue}{階差数列型}]$} \\[1zh]   階差をとると,\ \bm{\suuretu{a_{n+1}-a_n}が等比数列}となる. \\ この等比数列の一般項を求めると,\ \bm{階差数列型\ a_{n+1}-a_n=f(n)\ に帰着}する. \\ 階差数列がb_nである数列a_nの一般項は \bm{n\geqq2\ のとき\ \ a_n=a_1+\retuwa{k=1}{n-1}b_k} \\ n\geqq2\ の式に試しに\ n=1\ を代入してみると,\ 問題の\ a_1=5\ と矛盾しない. \\ よって,\ n=1\ のときも含めて答えればよい.