検索用コード
3点O(0,\ 0),\ A(4,\ 0),\ B(4,\ 2)を頂点とする直角三角形の中に,\ 下図のように順に正方 \\[.2zh] \hspace{.5zw}形を内接させていき,\ $n$個目にできる正方形の1辺の長さと面積を$a_n$,\ $S_n$とする. \\[.2zh] \hspace{.5zw}このとき,\ 数列$\{a_n\}$が満たす漸化式を作成し,\ $a_n$を求めよ.
\bm{同じ操作を繰り返す図形問題では,\ 相似な図形に着目する}ことが重要である. \\[.2zh] とりあえず,\ 最初に初項を求めておく. \\[.2zh] 中学レベルだが,\ \triangle\mathRM{PQB}と\triangle\mathRM{OAB}が相似であることを利用すればよい(左図). \\[1zh] 漸化式をa_1\,を求めたときと同様にしていくと,\ a_2=\bunsuu89,\ a_3=\bunsuu{16}{27}\,などを次々と求められる. \\[.8zh] 勘のいい人は,\ そこからa_n=2\hspace{-.2zw}\left(\bunsuu23\right)^nであることを推測できるかもしれない. \\[.8zh] しかし,\ あくまでも推測に過ぎず,\ 論理が不十分である. \\[.2zh] このような場合,\ \bm{漸化式の作成が有効}である. \\[.2zh] 問題で誘導されていなくても,\ 漸化式の作成を考えるのである. \\[.2zh] 具体的には,\ \bm{n個目とn+1個目の正方形を考え,\ その関係を立式する.} \\[.2zh] a_1\,を求めたときと同様に,\ \triangle\mathRM{STU}と\triangle\mathRM{OAB}が相似であることを利用すればよい(右図). \\[.2zh] 結局,\ \bm{等比数列型漸化式}に帰着する. \\[1zh] S_n\,も等比数列となるから,\ \retuwa{k=1}{n}S_k\,は単に等比数列の和\ \bunsuu{a(1-r^n)}{1-r}\ を計算するだけである. \\[.8zh] ただし,\ S_n=4\hspace{-.2zw}\left(\bunsuu23\right)^{2n}だからといって,\ 公比が\,\bunsuu23\,であると誤解してはならない. \\[.8zh] S_1=\bunsuu{16}{9},\ S_2=\bunsuu{64}{81},\ S_3=\bunsuu{256}{729},\ \cdots\cdots\ なので,\ 公比は\,\bunsuu49\,である.