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次の漸化式で定義される数列\suuretu{a_n}の一般項を求めよ.$ \\[1zh] \hspace{.5zw}$ (1)\ \ a_1=2,\ \ na_{n+1}=(n+1)a_n+1$ \\[.8zh] \hspace{.5zw}$ (2)\ \ a_1=2,\ \ na_{n+1}=(n+2)a_n+1$ \\[.8zh] \hspace{.5zw}$ (3)\ \ a_1=1,\ \ a_{n+1}=(n+1)a_n+n$ \\
f(n)a_{n+1}=f(n+1)a_n+qとその類似型}}$}} \\\\[.5zh] この型は,\ \textbf{\textcolor{red}{特定の式で両辺を割る}}と,\ 主に\textbf{\textcolor{blue}{階差数列型に帰着}}する. \\[.2zh] 経験が必要なので,\ この3題でどのような式で割ればよいのかという感覚をつかんでほしい. \\[.2zh] とにかく,\ $\bm{\textcolor{red}{n+1の部分とnの部分をそれぞれそろえて置換する}}ことが目標である.$ \\[.2zh] 高難度のパターンなので,\ 初学者は後回しにしても構わない. \\\\\\
$f(n)a_{n+1}=f(n+1)a_n+q$の両辺を\textcolor{magenta}{$f(n)f(n+1)$で割る}と \\[1zh] 本問はn(n+1)で両辺を割ると,\ n+1の部分とnの部分をそれぞれそろえることができる. \\[.2zh] \retuwa{k=1}{n-1}\bunsuu{1}{k(k+1)}\ は,\ \bm{部分分数分解した後に和を書き下すと間がすべて消える型}であった. \\[1zh] 数列分野の部分分数分解に限っては,\ 恒等式\ \bunsuu{1}{ab}=\bunsuu{1}{b-a}\left(\bunsuu1a-\bunsuu1b\right)\ を利用すると速い.
実は,\ 置換の後で部分分数分解するより,\ \bm{部分分数分解してから置換した方が簡潔に済む}(別解).
本問は,\ (n+1)\kaizyou\,で割ることで置換できるようになる.\ 経験がないと手も足も出ないだろう. \\[.2zh] \bunsuu{k}{(k+1)\kaizyou}\ も階差の形に変形できる式だが,\ これも経験がないと困難である. \