simultaneous

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連立漸化式は,\ \textbf{\textcolor{blue}{対称型と一般型}}に分類される. \\  対称型は容易だが,\ 一般型は2つの方法がいずれも厄介である. \\\\\\  $[1]$\ \textbf{\textcolor{blue}{対称型}} \textbf{\textcolor{red}{両辺の和と差で組み直す}}と, \textbf{\textcolor{blue}{等比数列型の2式に帰着}}する. \end{cases}\hspace{-.5zw}\textcolor[named]{ForestGreen}{を連立}}する.$ \\\\\\\\  $[2]$\ \textbf{\textcolor{blue}{一般型}} \\[.5zh]   \ \ $\bm{\alpha,\ \beta\ の組み合わせが2つ求まり,\ \textcolor{blue}{等比数列型の2式に帰着}}する.$ \\\\   \ \ \textbf{[\textcolor{blue}{別解}]} \textbf{\textcolor{red}{$\bm{b_{n+1},\ b_n}$を消去}}すると, \textbf{\textcolor{blue}{隣接3項間型に帰着}}する. \\\\\\\\ 2式の和をとる}2式の差をとる} 対称型であるから,\ 2式の和と差で組み直す. \\ \suuretu{a_n+b_n}は,\ 初項\ a_1+b_1=7,\ 公比6\ の等比数列. \\ \suuretu{a_n-b_n}は,\ 初項\ a_1-b_1=3,\ 公比2\ の等比数列. \bm{等比数列型の最終形をあらかじめ作成}しておき,\ それを満たすよう\ \alpha,\ \beta\ を定める. \\ 最終形を展開した形と\ a_{n+1}+\alpha b_{n+1}\ の計算結果を比較すればよい. \\ (\alpha,\ \beta)が2組求まるので,\ 対応する2組の等比数列型を解く. \\[1zh] \suuretu{a_n-b_n}は,\ 初項\ a_1-b_1=-1,\ 公比-1\ の等比数列. \\ \suuretu{a_n+\bunsuu14b_n}は,\ 初項\ a_1+\bunsuu14b_1=\bunsuu32,\ 公比3\ の等比数列. \\[1.5zh] 最後は,\ まず\ (\maru2-\maru1)\times\bunsuu45\ でb_nを求め,\ a_nは\maru1にb_nを代入して求めるとよい. \\[1zh] 普通,\ 問題でこの解法に誘導される. 隣接3項間型に帰着させる}}$] [\textcolor{blue}{隣接3項間型}]$} \\[1zh] b_{n+1},\ b_nを消去するわけだが,\ 普通の連立方程式と同様にはいかない. \\ 特性方程式\ \bm{x^2-x-6=0}\ より 特殊解\ \bm{x=-2,\ 3} \\ 隣接3項間型は,\ 等比数列型\ 2つの等比数列型を解き,\ \bm{a_{n+1}を消去}すると,\ a_nが求まる. \\[1zh] 最後は,\ b_n=a_{n+1}-2a_n\ を計算して,\ b_nを求めることになる. \\ このときの指数計算をうまくできない人が多い. \\ 底が等しい指数の和・差は,\ \bm{次数が低いほうにそろえて計算}するのが普通である. \\ 次数が高いほうにそろえようとすると,\ 分数になって厄介だからである. \\ この解法は,\ 必須である隣接3項間型の解法さえ習得できていれば実行できる. \\ しかし,\ 本解の方法に比べるとやや遠回りである.