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次の漸化式で定義される数列\suuretu{a_n},\ \suuretu{b_n}の一般項を求めよ.$ \\[1zh] a_{n+1}=4a_n+2b_n \\
b_{n+1}=2a_n+4b_n
a_{n+1}=2a_n+b_n \\
b_{n+1}=4a_n-b_n
\{連立漸化式}
連立漸化式は,\ \textbf{\textcolor{blue}{対称型と一般型}}に大きく分類される. \\[.2zh] 対称型は容易だが,\ 一般型は2つある方法のいずれもが厄介である.2式の和と差で組み直す}}と, \textbf{\textcolor{blue}{等比数列型の2式に帰着}}する. \\
$\bm{(\alpha,\ \beta)が2組求まり,\ \textcolor{blue}{等比数列型の2式に帰着}}する.$ \\\\
\textbf{[\,\textcolor{blue}{別解}\,]} \textbf{\textcolor{red}{$\bm{b_{n+1},\ b_n}$を消去}}すると, \textbf{\textcolor{blue}{隣接3項間型に帰着}}する. \\\\\\\\
2式の和をとる}と {2式の差をとる
対称型であるから,\ 2式の和と差で組み直す. \\[.2zh] \suuretu{a_n+b_n}は,\ 初項\ a_1+b_1=7,\ 公比6\ の等比数列. \\[.2zh] \suuretu{a_n-b_n}は,\ 初項\ a_1-b_1=3,\ 公比2\ の等比数列.
\bm{等比数列型の最終形をあらかじめ作成}しておき,\ それを満たすよう\ \alpha,\ \beta\ を定める. \\[.2zh] 最終形を展開した形と\ a_{n+1}+\alpha b_{n+1}\ に問題の漸化式を代入した結果を比較すればよい. \\[.2zh] (\alpha,\ \beta)が2組求まるので,\ 対応する2組の等比数列型をそれぞれ解く. \\[.2zh] 通常,\ 問題でこの解法に誘導される. \\[1zh] \suuretu{a_n-b_n}は,\ 初項\ a_1-b_1=-\,1,\ 公比-2\ の等比数列. \\[.4zh] \suuretu{a_n+\bunsuu14b_n}は,\ 初項\ a_1+\bunsuu14b_1=\bunsuu32,\ 公比3\ の等比数列. \\[1.5zh] 最後は,\ まず\maru2-\maru1によってb_n\,を求める.\ a_n\,は\maru1にb_n\,を代入して求めるとよい. b_nを消去して,\ 隣接3項間型に帰着させる}}$\,] \\[
\phantom{ (2)\ \ }$これらをb_{n+1}=4a_n-b_n\ に代入して整理すると$ \\[.2zh] \centerline{$\textcolor{red}{a_{n+2}-a_{n+1}-6a_n=0}$  {\small [\,\textcolor{blue}{隣接3項間型}\,]}}
b_{n+1},\ b_nを消去するわけだが,\ 普通の連立方程式と同様にはいかない.
隣接3項間型は,\ まずa_{n+2}=x^2,\ a_{n+1}=x,\ a_n=1とした特性方程式を解く. \\[.2zh] 特殊解\,\alpha,\ \beta\,を用いると,\ 等比数列型\
本問の場合,\ 特性方程式\ \bm{x^2-x-6=0}\ より,\ 特殊解\ \bm{x=-\,2,\ 3}である. \\[.2zh] 2つの等比数列型を解いた後\bm{a_{n+1}\,を消去}することでa_n\,が求められる. \\[1zh] 最後は,\ b_n=a_{n+1}-2a_n\,を計算して,\ b_n\,を求めることになる. \\[.2zh] 底が等しい指数の和・差は,\ \bm{次数が低いほうにそろえて計算する.} \\[.2zh] 次数が高いほうにそろえようとすると,\ 分数になって厄介だからである.
この解法は,\ 必須である隣接3項間型の解法さえ習得できていれば実行できる. \\[.2zh] しかし,\ 本解の方法に比べるとやや遠回りである.