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次の漸化式で定義される数列\suuretu{a_n}の一般項を求めよ.$ \\[.5zh] 発想は自然だが,\ 最終的には\bm{n回階差数列型を解く羽目になる.} \\[.2zh] \phantom{[1]}\ \ 1次式程度なら問題ないが,\ 2次以上となると非常に面倒になるので推奨されない. \\[.2zh] \phantom{[1]}\ \ 特殊解型b_{n+1}=pb_n+qを解くと b_n=(b_1-\alpha)\cdot p^{n-1}+\alpha (\alpha\ :特殊解) \\[.2zh] \phantom{[1]}\ \ よって a_{n+1}-a_n=(b_1-\alpha)\cdot p^{n-1}+\alpha  [\,階差数列型\,] \\[1zh] \phantom{[1]}\ \ 特殊解型をa_{n+1}=pa_n+(定数)と考えると,\ 特殊解型とn次式型は同種の漸化式である. \\[.2zh] \phantom{[1]}\ \ 以下のような構造を理解しておいてほしい. \\[.2zh] \phantom{[1]}\ \ 2次式の漸化式の階差を1回とると1次式の漸化式a_{n+1}=pa_n+qn+rとなる. \\[.2zh] \phantom{[1]}\ \ 1次式の漸化式の階差を1回とると定数の漸化式a_{n+1}=pa_n+q\,(特殊解型)となる. \\[.2zh] \phantom{[1]}\ \ 定数の漸化式の階差を1回とるとa_{n+1}=pa_n\,(等比数列型)となる. \\[1zh] \text{[2]}\ \ 等比数列型の最終形を作っておき,\ その形になるよう定数を定める. \\[.2zh] \phantom{[1]}\ \ 何次式であれ,\ \bm{一気に等比数列型に帰着}する. \\[.2zh] \phantom{[1]}\ \ n次式型は問題で誘導される場合も多く,\ 通常この解法に誘導される.
$[1]$\ \ [\,\textbf{\textcolor{blue}{$\bm{n}$回階差をとる:高次だと非常に面倒}}\,] \\[1zh] 特殊解型の特性方程式\ \alpha=2\alpha+3\ より,\ 特殊解は\ \alpha=-\,3である. \\[.2zh] 特殊解型を解くと,\ 階差数列型に帰着する. \\[.2zh] 階差数列がb_n\,である数列a_n\,の一般項は n\geqq2のとき\ \ a_n=a_1+\retuwa{k=1}{n-1}b_k \\[1zh] ここで,\ \retuwa{}{}r^k\,(所詮は等比数列の和)を計算する必要が生じるが,\ 正確にできない人が意外に多い. \\[.2zh] \retuwa{k=1}{n-1}2^{k-1}=2^0+2^1+\cdots\cdots+2^{n-2}\ より,\ \bm{初項1,\ 公比2,\ 項数n-1の等比数列の和}である. \\[.2zh] 初項a,\ 公比r,\ 項数nの等比数列の和の公式\ \bunsuu{a(r^n-1)}{r-1}\ を利用して求める. \\[1zh] 2次式の(2)は,\ 2回階差数列型を解く羽目になり,\ 面倒なので省略する.
係数比較して一気に等比数列型に帰着させる:高次では強力}}\,]