n-degree

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n回階差をとる}}と, \textbf{\textcolor{blue}{特殊解型に帰着する.}} \\[.5zh]   \ \ $1次式\ a_{n+1}=pa_n+\underline{qn+r}\ の場合を考える.\ 1回階差をとる.$ \\[.5zh] \textcolor{blue}{特殊解型}]}$ \\\\\\  $[2]$\ \textbf{\textcolor{blue}{$\bm{\suuretu{a_n+(n次式)}}$の等比数列}になるよう,\ \textcolor{red}{係数比較して定数を定める.}} 1次式}}2次式}} \text{[1]}\ 発想は自然だが,\ 最終的には\bm{n回階差数列型を解く羽目になる.} \\ \phantom{[1]}\ 1次式程度ならまだマシだが,\ 2次以上となると非常に面倒で,\ 推奨されない. \\ \phantom{[1]}\ 特殊解型を解くと b_n=(b_1-\alpha)\cdot p^{n-1}+\alpha (\alpha\ :特殊解) \\ \phantom{[1]}\ よって  \ \ a_{n+1}-a_n=(b_1-\alpha)\cdot p^{n-1}+\alpha  [\textbf{\textcolor{blue}{階差数列型}}] \\[1zh] \text{[2]}\ 等比数列型の最終形を作っておき,\ その形になるよう定数を定める. \\ \phantom{[1]}\ 何次式であれ,\ \bm{一気に等比数列型に帰着}する. \\ \phantom{[1]}\ n次式型は問題で誘導される場合も多く,\ 通常この解法に誘導される. \bm{n}$回階差をとる:高次だと非常に面倒}}] \\[1zh]  [\textcolor{blue}{特殊解型}]$ \\[.2zh] {\normalsize $[\textcolor{blue}{階差数列型}]$} 特殊解型の特性方程式は,\ \alpha=2\alpha+3\ より,\ 特殊解\ \alpha=-3 \\ 特殊解型を解くと,\ 階差数列型に帰着する.\ \retuwa{}{}r^k\ が計算できない人が意外に多い. \\ \retuwa{k=1}{n-1}2^{n-1}=2^0+2^1+\cdots+2^{n-2}\ より,\ \bm{初項1,\ 公比2,\ 項数n-1の等比数列の和} \\ 初項a,\ 公比r,\ 項数nの等比数列の和の公式 \bunsuu{a(r^n-1)}{r-1} \\[1zh] 2次式の(2)は,\ 2回階差数列型を解く羽目になり,\ 面倒なので省略.  $[2]$\ \ [\textbf{\textcolor{blue}{係数比較により等比数列型に一気に帰着させる:高次では強力}}] \\[1zh]  展開して整理すると a_{n+1}=2a_n+\textcolor{cyan}{\alpha} n+(\textcolor{cyan}{-\alpha+\beta})$ \\[.2zh]  元の漸化式\ a_{n+1}=2a_n+\textcolor{cyan}{3}n\ \textcolor{cyan}{-1}\ と比較すると$ \\[.2zh]  a_n+3n+2}は,\ 初項a_1+3\cdot1+2=6,\ 公比2の等比数列}である.$ \\[.2zh]  a_n+n^2-2}は,\ 初項a_1+1^2-2=1,\ 公比2の等比数列}である.$ \\[.2zh]