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この型は,\ \textbf{\textcolor{red}{特定の式で両辺を割る}}と,\ \textbf{\textcolor{blue}{階差数列型に帰着}}する. \\  経験が必要なので,\ この3題でどんな式で割るべきかの感覚をつかもう. \\  とにかく,\ $\bm{\textcolor{red}{n+1の部分とnの部分をそろえる}}ことが重要である.$ \\\\  \textcolor{magenta}{$f(n)f(n+1)$で両辺を割る}と $\textcolor{red}{\bunsuu{a_{n+1}}{f(n+1)}}=\textcolor{red}{\bunsuu{a_n}{f(n)}}+\bunsuu{q}{f(n)f(n+1)}$ \\[.5zh]  ここで,\ $\textcolor{cyan}{\bunsuu{a_n}{f(n)}=b_n}\ とおくと,\ \textbf{\textcolor{blue}{階差数列型}}\ \bm{\textcolor{blue}{b_{n+1}=b_n+g(n)}}\ に帰着する.$ \\\\\\[1zh]  (1)\ $na_{n+1}=(n+1)a_n+1\ の\textcolor{magenta}{両辺をn(n+1)で割る}と$ \\[.5zh] \retuwa{k=1}{n-1}\bunsuu{1}{k(k+1)}\ は,\ \bm{部分分数分解して階差に変形する型}である. \\ 数列分野の部分分数分解に限っては,\ \bunsuu{1}{ab}=\bunsuu{1}{b-a}\left(\bunsuu1a-\bunsuu1b\right)\ を利用すると速い. \\[.8zh] つまり \bunsuu{1}{k(k+1)}=\bunsuu{1}{(k+1)-k}\left(\bunsuu{1}{k}-\bunsuu{1}{k+1}\right)=\bunsuu1k-\bunsuu{1}{k+1} \\[1zh] 部分分数分解後,\ 全ての項を書き出し,\ 共通項を消去すると和が求まる. 両辺をn(n+1)(n+2)で割る}と$ \\[.5zh]  \  を用いて部分分数分解すると,\ 階差の形に分解できる. \\[.8zh] \階差数列型}]$ \\[1zh]  \{階差の形に変形}] \retuwa{}{}\bunsuu{k}{(k+1)\kaizyou}\ は,\ 階差の形にして和を求める. \\ を逆に用いるのは経験が必要である.