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$次の漸化式で定義される数列\suuretu{a_n}の一般項を求めよ.$ \\[1zh] 階比数列型} 階差数列型}} \textbf{\textcolor{cyan}{隣り合う項の差が$\bm{n}$の式}}である漸化式.  $a_{n+1}-a_n=f(n)$ \\[.6zh] \textbf{\textcolor{blue}{階比数列型}} }{隣り合う項の\textcolor{red}{比}が$\bm{n}$の式}}である漸化式. 1}$になるまで繰り返し漸化式を適用していく.}} \\\\
同様に,\ a_{n-1}=(n-2)a_{n-2},\ \ a_{n-2}=(n-3)a_{n-3},\ \cdots\cdots\ が成立する. \\[.2zh] これらをa_1\,になるまで,\ つまりa_2=1\cdot a_1\,を代入するところまで繰り返し適用していく. \\[.2zh] 最後,\ \bm{階乗記号}を用いると積を簡潔に表すことができる.\ 0\kaizyou=1なので注意.
まず,\ 問題を見て階比数列型であることに気付けるかが問われる. \\[.2zh] 気付けたならば,\ a_{n+1}=f(n)a_n\,の形に変形して繰り返し適用していけばよい. \\[.2zh] a_1\,まで繰り返し適用すると,\ nと2がn-1個残る以外は約分によってすべて消える. \\[.2zh] 2がn個あると誤解しやすいが,\ 分母がn-1から1まであることに着目すると間違えない. \\[1zh] 本問は別解も重要である.\ 問題で別解に誘導される場合も多い. \\[.2zh] \bm{n+1の部分とnの部分をそれぞれ集める}という観点に立てば,\ 非常に自然な変形である. \\[.2zh] 集めることで置換できるようになり,\ 等比数列型に帰着する.