検索用コード
平面上に,\ どの2本も互いに平行でなく,\ どの3本も1点で交わることがないよ \\[.2zh] \hspace{.5zw}\phantom{(1)}\ \ うに$n$本の直線を引くとき,\ 平面は何個の領域に分割されるか. \\[1zh] \hspace{.5zw}(2)\ \ 平面上に,\ どの2個も互いに2点で交わり,\ どの3個も1点で交わることがない \\[.2zh] \hspace{.5zw}\phantom{(1)}\ \ ように$n$個の円を書くとき,\ 平面は何個の領域に分割されるか. \\
直線や円による平面の分割と漸化式}}$}} \\\\
(1)\ \ $n$本の直線によって,\ 領域が$a_n$個に分割されているとする. \\[.5zh] \phantom{ (2)}\ \ $n+1$本目の直線を引くと,\ $n$本の直線によって$n+1$個の線分に分割される. \\[1zh] \phantom{ (2)}\ \ これに応じて領域は$n+1$個増えるから $\textcolor{red}{a_{n+1}=a_n+n+1}$   また $a_1=2$ \\[1zh] いきなり問われると手を付けづらいが,\ 一度経験して要点を押さえてしまえば容易である. \\[.2zh] とりあえず,\ 小さいnで具体的に考えて様子を探ってみよう. \\[.2zh] 図のように,\ \ell_1,\ \ell_2,\ \ell_3\,と直線が増えるにつれ,\ 領域の個数は2,\ 4,\ 7と変化していく. \\[.2zh] さらに直線を増やしていくと,\ 2,\ 4,\ 7,\ 11,\ 16,\ \cdots\cdots\ となることがわかる. \\[.2zh] よって,\ 領域の個数は階差数列が2,\ 3,\ 4,\ 5,\ \cdots\cdots\ であるような数列をなすと推測できる. \\[.2zh] しかし,\ これはあくまでも推測にすぎず,\ この先も永遠に同じ規則であるとは限らない. \\[.2zh] そこで,\ \bm{領域の個数をa_n\,とおき,\ a_{n+1}\,との関係をnの式で表す(漸化式を作成する).} \\[.2zh] このように文字nを用いて一般化することで,\ すべての自然数nについて成り立つことが示される. \\[1zh] 漸化式を作成するため,\ 特に中央図と右図に着目してほしい. \\[.2zh] なお,\ 便宜上\bm{平面を表す四角い枠を書いてその中で考える}とわかりやすい. \\[.2zh] 中央図では,\ 直線\,\ell_1\,と\ell_2\,によって平面が4個の領域に分割されている. \\[.2zh] この状態から直線\,\ell_3\,を引くと領域の個数はどうなるだろうか. \\[.2zh] \bm{3本目の直線\,\ell_3\,は,\ すでにある2本の直線\,\ell_1,\ \ell_2\,によって3個の線分に分割される.} \\[.2zh] そして,\ \bm{線分1個につき,\ 領域が1個増える.} \\[.2zh] つまり,\ 3本目の直線を引くと領域は3個増えて7個になる. \\[.2zh] 結局,\ \bm{n+1本目の直線を引くと,\ 領域がn+1個増える}というわけである. \\[1zh] 最後は普通に漸化式を解くだけである.\ \ \bm{a_{n+1}-a_n=f(n)\,は,\ 階差数列型漸化式}である. \\[.2zh] (2)\ \ $n$個の円によって,\ 領域が$a_n$個に分割されているとする. \\[.5zh] \phantom{ (2)}\ \ $n+1$個目の円を書くと,\ $n$個の円によって$2n$個の円弧に分割される. \\[1zh] \phantom{ (2)}\ \ これに応じて領域は$2n$個増えるから $\textcolor{red}{a_{n+1}=a_n+2n}$   また $a_1=2$ \\[1zh] \phantom{ (2)}\ \ $n=1とするとa_1=1^2-1+2=2$となるから,\ $n=1$のときも成り立つ.
中央図では,\ 円C_1\,と円C_2\,によって平面が4個の領域に分割されている. \\[.2zh] この状態から円C_3\,を書くと領域の個数はどうなるだろうか. \\[.2zh] \bm{3個目の円C_3\,は,\ すでにある2個の円C_1,\ C_2\,によって4個の円弧に分割される.} \\[.2zh] \bm{1個の円とは2点で交わり,\ 交点1個につき円弧が1個できる.} \\[.2zh] 円が2個あると新たに4個の交点ができ,\ すなわち4個の円弧ができるのである. \\[.2zh] そして,\ \bm{円弧1個につき,\ 領域が1個増える.} \\[.2zh] つまり,\ 3個目の円を書くと領域は4個増えて8個になる. \\[.2zh] 結局,\ \bm{n+1個目の円を引くと,\ 領域が2n個増える}というわけである.