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次の漸化式で定義される数列\suuretu{a_n}の一般項を求めよ.$ \\[.5zh] \hspace{.5zw}$  a_1=2,\ \ a_2=3,\ \ a_{n+2}=5a_n+4$ \\
{1つおきの漸化式}}$特殊解型}
特殊解型であるから,\ 特殊解を求めて等比数列型に帰着させる. \\[.2zh] \alpha=5\alpha+4 より 特殊解\ \bm{\alpha=-\,1} \\[1zh] 奇数項は\ a_1=2\ から始まる系列,\ 偶数項は\ a_2=3\ から始まる系列である. \\[.2zh] nが奇数か偶数かで場合分けして一般項を求める. \\[.2zh] 場合分けのとき,\ \bm{\underline{自然数}\ mとnが対応する}ように設定するのが普通である. \
nが奇数のとき n=2m-1 & (m:自然数) \\
nが偶数のとき n=2m & (m:自然数)
奇数を\ n=2m+1\ (m:0以上の整数)\ とすると,\ 偶数と整合性が取れなくなる. \\[1zh] このような設定の結果,\ m,\ nが以下のように対応する.
以上を踏まえた上で,\ 一般項を求める. \\[.2zh] nが奇数のとき,\ a_n=a_{2m-1}\ とし,\ \bm{まずmで一般項を表す.} \\[.2zh] その後,\ n=2m-1\ を\ \bm{m=\bunsuu{n+1}{2}\ と変形して代入し,\ nの式に戻す.} \\[.6zh] nが偶数の場合も同様に,\ まずmで表した後,\ nの式に戻す. \\[1zh] 通常の等比数列の一般項\ a_n=ar^{n-1}\ と混同し,\ 次のように間違える学生が多い. \\[.2zh] nが奇数ならば\,a_1,\ a_3,\ \cdots\cdots\,なので,\ 本問ではa_n\,のnが最初からn項目であることを意味しない. \\[.2zh] もう一度上のmとnの対応表を見て欲しい. \\[.2zh] 1つとびであるから,\ \bm{n=2m-1\ となるのは第m項目}である. \\[.2zh] 例えば,\ n=7となるのは,\ 第4項目であり,\ a_7=(初項)\cdot(公比)^{4-1}\ 等となる. \\[.2zh] よって,\ a_{\bm{2m-1}}+1=3\cdot5^{\bm{m}-1}\ となる. \\[.2zh] 偶数の場合も同様に,\ \bm{n=2m\ となるのは,\ 第m項目}である.
とにかく,\ 1つおきに等比数列を成していることに注意してほしい. \\[1zh] 本問では,\ 大まかな流れはわかっていても,\ mやnの細かい扱いでミスしやすい. \\[.2zh] そこで,\ 常に\bm{検算}することを心掛けたい. \\[.2zh] \bm{mやnに簡単な値をいくつか代入し,\ 問題と矛盾しないかを確認}すればよい. \\[.2zh] もし間違っていた場合にはすぐに気付くことが可能になる. \\[.2zh] これは本問に限らず,\ 検算が容易な数列分野全般でいえる話である.