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この漸化式は,\ 次のように\ $\bm{\textcolor[named]{ForestGreen}{a_n\ から\ a_{n+2}\ が求まっていく.}}$ \\[.5zh]  \textbf{\textcolor{red}{奇数項と偶数項が別系列}}であるから,\ \textbf{\textcolor{red}{場合分け}}をして求めることになる. \\\\\\  $a_{n+2}=5a_n+4 より a_{n+2}+1=5(a_n+1)$  {\normalsize $[\textcolor{blue}{特殊解型}]$} \\\\  $[1]$\ $\textcolor{cyan}{n=2m-1\ (m:自然数)}\ のとき$ $[\textcolor{brown}{n:奇数}]$ \\[.5zh] \phantom{ $[1]$}\ $\suuretu{a_n+1}は,\ 初項\ \textcolor{cyan}{a_1+1=2+1=3},\ 公比5\ の等比数列である.  $[2]$\ $\textcolor{magenta}{n=2m\ (m:自然数)}\ のとき$ $[\textcolor{brown}{n:偶数}]$ \\[.5zh] \phantom{ $[1]$}\ $\suuretu{a_n+1}は,\ 初項\ \textcolor{magenta}{a_2+1=3+1=4},\ 公比5\ の等比数列である.$ \\[.5zh] 特殊解型であるから,\ 特殊解を求めて等比数列型に帰着させる. \\ \alpha=5\alpha+4 より 特殊解\ \bm{\alpha=-1} \\[1zh] 奇数項は\ a_1=2\ から始まる系列,\ 偶数項は\ a_2=3\ から始まる系列である. \\ nが奇数か偶数かで場合分けして一般項を求める. \\ 場合分けのとき,\ \bm{\underline{自然数}\ mとnが対応する}ように設定するのが普通である. \\ つまり,\ \bm{\begin{cases} nが奇数のとき n=2m-1 & (m:自然数) \\ nが偶数のとき n=2m & (m:自然数) \end{cases}} と設定する. \\ 奇数を\ n=2m+1\ (m:0以上の整数)\ とすると,\ 偶数と整合性が取れなくなる. \\[1zh] このような設定の結果,\ m,\ nが次のように対応する. \\ 以上を踏まえた上で,\ 一般項を求める. \\ nが奇数のとき,\ a_n=a_{2m-1}\ とし,\ \bm{まずmで一般項を表す.} \\ その後,\ n=2m-1\ を\ \bm{m=\bunsuu{n+1}{2}\ として代入し,\ nの式に戻す.} \\ nが偶数の場合も同様に,\ まずmで表した後,\ nの式に戻す. \\[1zh] 通常の等比数列の一般項\ a_n=ar^{n-1}\ と混同し,\ 次のように間違える人が多い. \\ nが奇数なら,\ a_1,\ a_3,\ \cdots\ であり,\ a_nのnと最初からn項目のnは一致しない. \\ もう一度上のmとnの対応表を見て欲しい. \\ 1つとびであるから,\ \bm{n=2m-1\ となるのは,\ 第m項目}である. \\ 例えば,\ n=7となるのは,\ 第4項目であり,\ a_7=(初項)\cdot(公比)^{4-1}\ 等となる. \\ よって,\ a_{\bm{2m-1}}+1=3\cdot5^{\bm{m}-1}\ となる. \\ 偶数の場合も同様に,\ \bm{n=2m\ となるのは,\ 第m項目}である. \\ よって,\ a_{\bm{2m}}+1=4\cdot5^{\bm{m}-1}\ となる. \\ とにかく,\ 1つおきに等比数列を成していることに注意して欲しい. \\[1zh] 本問では,\ 大まかな流れはわかっていても,\ mやnの細かい扱いでミスしやすい. \\ そこで,\ 常に\bm{検算}することを心掛けたい. \\ \bm{mやnに簡単な値をいくつか代入し,\ 問題と矛盾しないかを確認}すればよい. \\ もし間違っていた場合はすぐに気付くことが可能である. \\ これは本問に限らず,\ 検算が容易な数列分野全般でいえる話である.