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2定点F$(c,\ 0)$,\ F$'(-\,c,\ 0)$からの距離の差が$2a$になる点の軌跡を求めよ. \\[.2zh] \hspace{.5zw}ただし,\ $a,\ cは$を満たす定数である. \\  軌跡上の動点をP$(x,\ y)$とする. \\[1zh]  $\textcolor{red}{\zettaiti{\mathRM{PF}-\mathRM{PF}’}=2a}\ \ \,より\ \ \,\zettaiti{\ruizyoukon{(x-c)^2+y^2}-\ruizyoukon{(x+c)^2+y^2}}=2a$ \\[.4zh]  $よって        \ \ruizyoukon{(x-c)^2+y^2}-\ruizyoukon{(x+c)^2+y^2}=\pm\,2a$ \\[.4zh]  $ゆえに        \ \ruizyoukon{(x-c)^2+y^2}=\pm\,2a+\ruizyoukon{(x+c)^2+y^2}$ \\[.4zh]  $両辺を2乗すると   (x-c)^2+y^2=4a^2\pm4a\ruizyoukon{(x+c)^2+y^2}+(x+c)^2+y^2$ \\[.2zh]  $整理すると      \ cx+a^2=\pm\,a\ruizyoukon{(x+c)^2+y^2}$ \\[.4zh]  $両辺を2乗すると   c^2x^2+2a^2cx+a^4=a^2\{(x+c)^2+y^2\}$ \\[.4zh]  $整理すると      \ (c^2-a^2)x^2-a^2y^2=a^2(c^2-a^2)$ \\[.4zh]  $両辺をa^2(c^2-a^2)\ (0)で割ると \bm{\textcolor{blue}{\bunsuu{x^2}{a^2}-\bunsuu{y^2}{c^2-a^2}=1}}$ \\[.4zh]  $この曲線上のすべての点は\ \zettaiti{\mathRM{PF}-\mathRM{PF}’}=2a\ を満たす.$ \\\\[.5zh] \centerline{{\small $\left[\textcolor{brown}{\begin{array}{l} 軌跡上の動点を文字でおき,\ その点が満たすべき条件を立式した後整理する. \\[.2zh] A0のとき\ \zettaiti{X}=A\ \Longleftrightarrow\ X=\pm\,A\ より,\ 絶対値はすぐにはずせる. \\[.2zh] 本問の根号をはずすには,\ 一方を移項して両辺を2乗し,\ それを整理した後再び両辺を2乗する. \\[.2zh] 結局,\ \pm\,の影響はない.\ \ caに注意してx^2\,とy^2\,の項をそれぞれまとめ,\ =1の形にする. \\[.2zh] 最後,\ 除外点が存在しないことも確認する. \end{array}}\right]$}} \\\\\\\\  $\bm{\textcolor[named]{ForestGreen}{2定点からの距離の差が一定(2a)となる点の軌跡}}が\bm{\textcolor{blue}{双曲線の定義}}である.$ \\[.2zh]  $このとき,\ 2定点\mathRM{F,\ F}’を\bm{\textcolor{blue}{焦点}}という.$ \\[.2zh]  $また,\ \textcolor{magenta}{c^2-a^2=b^2}\ とおくと\bm{\textcolor{blue}{双曲線の標準形\ \bunsuu{x^2}{a^2}-\bunsuu{y^2}{b^2}=1}}\ が得られる.$ \\[.2zh]  $このとき,\ 焦点は\ \bm{\textcolor{blue}{(c=\pm\ruizyoukon{a^2+b^2},\ 0)}}\ と表される.$ \\[.2zh]  $双曲線には,\ \textcolor[named]{ForestGreen}{焦点がx軸上の横向き双曲線}と\textcolor[named]{ForestGreen}{焦点がy軸上の縦向き双曲線}がある. $漸近線 \bm{\textcolor{red}{\bunsuu xa\pm\bunsuu yb=0}} \left(\bm{\textcolor{red}{y=\pm\bunsuu bax}}\right)$ \\[.6zh] $焦点からの距離の差 \bm{\textcolor{red}{2a}}$ $焦点からの距離の差 \bm{\textcolor{red}{2b}}$ \\ 双曲線が横向きか縦向きかは\bm{右辺が1か-\,1か}で決まる. \\[.2zh] どちらの双曲線かで各図形量が変わるので,\ 図とも絡めてしっかり確認しておきたい. \\[.2zh] 漸近線は元の式と見比べるとすぐ覚えられる.\ y=の形で覚えてもよい.\ 両方同じである. \\[.2zh] なお,\ 横向き・縦向きは正式用語ではないので他では使わないように. \\[1zh] 双曲線の焦点(\pm\ruizyoukon{a^2+b^2},\ 0)は,\ 楕円の焦点(\pm\ruizyoukon{a^2-b^2},\ 0)と混同しやすい. \\[.2zh] 色塗り部分は,\ 底辺の長さa,\ 高さbの直角三角形であるから,\ 斜辺の長さは\,\ruizyoukon{a^2+b^2}\ である. \\[.2zh] これは焦点のx座標と一致するから,\ \bm{中央の長方形の頂点4個と焦点2個は同一円周上にある.} \\[.2zh] このことを認識しておくと楕円の焦点と混同する心配はない. 漸近線\ \bunsuu{x-3}{3}\pm\bunsuu{y-2}{2}=0}$ \\[1zh]     $\ruizyoukon{3^2+2^2}=\ruizyoukon{13} より 双曲線\ \textcolor{cyan}{\bunsuu{x^2}{3^2}-\bunsuu{y^2}{2^2}=1}\ の焦点は \textcolor{cyan}{(\pm\ruizyoukon{13},\ 0)}$ \\[1zh]     $求める双曲線の焦点は\textcolor{red}{x軸方向に3,\ y軸方向に2平行移動}して \bm{(3\pm\ruizyoukon{13},\ 2)}$ \\\\[.5zh] (1)\ \ 双曲線を特徴づけるのはaとbの値である.\ a^2=8,\ b^2=4より,\ a=2\ruizyoukon2,\ b=2\ である. \\[.2zh]   漸近線は\ x\pm\ruizyoukon2\,y=0\ や\ y=\pm\bunsuu{1}{\ruizyoukon2}x\ などと答えてもよい. \\[1zh]   \bm{右辺が1なので横向きの双曲線}であり,\ 焦点の座標は\ (\pm\ruizyoukon{a^2+b^2},\ 0)\ である. \\[.2zh]   双曲線を図示するときは,\ 先に4頂点が(a,\ b),\ (-\,a,\ b),\ (-\,a,\ -\,b),\ (a,\ -b)\ の長方形を描く. \\[.2zh]   漸近線を描いた後,\ 双曲線を描けばよい.\ 焦点が問われた場合はこれも図示する. \\[1zh] (2)\ \ \bm{右辺が1または-\,1の標準形に変形}することで初めてa,\ bがわかる.  9x^2-4y^2=-\,1 \\[.2zh]   さらに,\ 左辺を\ \bunsuu{x^2}{a^2}+\bunsuu{y^2}{b^2}\ の形に変形しなければならない. \\[.8zh]   つまり,\ \bm{左辺の分子のx^2\,とy^2\,の係数を無理矢理にでも1にする}必要がある. \\[.5zh]   すぐに変形できない人は,\ 9x^2\ と\ \bunsuu{1}{a^2}x^2\ を比較して9=\bunsuu{1}{a^2}\ より\ a^2=\bunsuu19\ と考えればよい. \\[1zh]   \bm{右辺-\,1なので縦向きの双曲線}であることに注意して焦点を求め,\ 図示する. \\[1zh] (3)\ \ 一般に,\ x\,→\,x-\alpha,\ y\,→\,y-\beta\,とするとx軸方向に\,\alpha,\ y軸方向に\,\beta\,平行移動したグラフになる. \\[.2zh]   よって,\ \bm{\bunsuu{(x-\alpha)^2}{a^2}-\bunsuu{(y-\beta)^2}{b^2}=1}\,は\,\bunsuu{x^2}{a^2}-\bunsuu{y^2}{b^2}=1を(\alpha,\ \beta)平行移動した双曲線である. \\[1zh]   式中にx,\ yの項を含む場合,\ xとyについてそれぞれ\bm{平方完成}すると標準形に変形できる. \\[.2zh]   4(x-3)^2-9(y-2)^2=36   両辺を36で割ると \bunsuu{(x-3)^2}{9}-\bunsuu{(y-2)^2}{4}=1 \\[.5zh]   これは,\ 双曲線\ \bunsuu{x^2}{9}-\bunsuu{y^2}{4}=1\ をx軸方向に3,\ y軸方向に2平行移動したものである. \\[.5zh]   漸近線も焦点も平行移動前のものを求めた後,\ 平行移動すればよい. \\[.2zh]   漸近線は\ 2x+3y-12=0,\ 2x-3y=0\ としてもよい. 次の条件を満たす双曲線の方程式を求めよ. \\[.5zh] \hspace{.5zw} (1)\ \ $焦点(0,\ \pm\,3),\ 頂点(0,\ \pm\,2)である双曲線.$ \\[.5zh] \hspace{.5zw} (2)\ \ $焦点(\pm\,2\ruizyoukon5,\ 0),\ 漸近線\ y=\pm\bunsuu12x\ である双曲線.$ \\ 焦点がy軸上}にあるから,\ 求める双曲線は\ \textcolor[named]{ForestGreen}{\bunsuu{x^2}{a^2}-\bunsuu{y^2}{b^2}=-\,1\ (a0,\ b0)}\ とおける.$ \\[.5zh]    $頂点(0,\ \pm\,2) より \textcolor{red}{b=2}$ \\[.5zh]    $焦点について\ \ruizyoukon{a^2+b^2}=3\ より \textcolor{red}{a^2=5}$ \\\\ \centerline{$\therefore \bm{\bunsuu{x^2}{5}-\bunsuu{y^2}{4}=-\,1}$} \\\\\\  (2)\ \ $\textcolor[named]{ForestGreen}{焦点がx軸上}にあるから,\ 求める双曲線は\ \textcolor[named]{ForestGreen}{\bunsuu{x^2}{a^2}-\bunsuu{y^2}{b^2}=1\ (a0,\ b0)}\ とおける.$ \\[.5zh]    $漸近線\ y=\pm\bunsuu12x より \bunsuu ba=\bunsuu12    よって \textcolor{red}{a=2b}\ \ \cdots\cdots\maru1$ \\[.5zh]    $焦点について\ \ruizyoukon{a^2+b^2}=2\ruizyoukon5 より \textcolor{red}{a^2+b^2=20}\ \ \cdots\cdots\maru2$ \\[.5zh]    $\maru1,\ \maru2を連立すると a^2=16,\ \ b^2=4$ \\\\ \centerline{$\therefore \bm{\bunsuu{x^2}{16}-\bunsuu{y^2}{4}=1}$} \\\\\\ \centerline{{\small $\left[\textcolor{brown}{\begin{array}{l} 横向きか縦向きかに注意して双曲線を設定し,\ a^2\,とb^2\,を求めればよい. \\[.2zh] 漸近線は\ y=\pm\bunsuu bax\ と比較する.