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定点F$(p,\ 0)$と定直線$x=-\,p$からの距離が等しい点の軌跡を求めよ. \\ \\[-.8zh] \hline \end{tabular} \\\\ \centerline{{\Large \textbf{\textcolor{blue}{放物線の定義・標準形・焦点・準線}}}} \\\\[.5zh]  $\textcolor{red}{軌跡上の動点を\mathRM{P}(x,\ y)}とする.$ \\[.2zh]  $また,\ \mathRM{P}から定直線x=-\,pに下ろした垂線の足を\mathRM{H}とする.$ \\[1zh]  $\textcolor{red}{\mathRM{PF}=\mathRM{PH}} \ より\  \ruizyoukon{(x-p)^2+y^2}=\zettaiti{x-(-p)}$ \\[.5zh]  $両辺を2乗すると (x-p)^2+y^2=x^2+2px+p^2$ \\[.5zh]  $整理すると    \bm{\textcolor{blue}{y^2=4px}}$ \\[.5zh]  $この曲線上の全ての点は\mathRM{PF=PH}を満たす.$ \\\\\\  $このように,\ \bm{\textcolor[named]{ForestGreen}{1点と1本の直線からの距離が等しい点の軌跡}}を\bm{\textcolor{blue}{放物線}}という.$ \\[.2zh]  $\bm{\textcolor{blue}{軸がx軸で,\ 頂点が原点}}の\bm{\textcolor{blue}{放物線}}\ \bm{\textcolor{blue}{y^2=4px}}\ を\bm{\textcolor{magenta}{x軸を軸}}とする放物線の\bm{\textcolor{blue}{標準形}}といい,$ \\[.2zh]  $定点\bm{\textcolor{cyan}{\mathRM{F}(p,\ 0)}}を放物線の\bm{\textcolor{blue}{焦点}},\ 定直線\bm{\textcolor{cyan}{x=-\,p}}を放物線の\bm{\textcolor{blue}{準線}}という.$ \\[.5zh]  $なお,\ p0のときは逆向きの放物線となる  $同様にすると,\ \bm{\textcolor{cyan}{\mathRM{焦点}(0,\ p)}}$,\ $\bm{\textcolor{cyan}{準線y=-\,p}}$の放物線の方程式は $\bm{\textcolor{blue}{x^2=4py}}$ \\[.5zh]  $これは\bm{\textcolor{magenta}{y軸を軸}}とする放物線であり,\ y=\bunsuu{1}{4p}x^2\ と考えると単なる2次関数に他ならない.$ \\\\[1zh] 軌跡の問題はほぼパターン化されている. \\[.2zh] まず\bm{軌跡上の動点を文字でおき,\ その点が満たすべき条件を立式した後整理}すればよい. \\[.2zh] \mathRM{PHの長さは絶対値で表すことで,\ の場合分けが必要なくなる.} \\[.2zh] 両辺が正なので2乗しても同値である.\ 最後,\ 逆を確認しておく(除外点が存在しないことを示す). \\[1zh] 一般に,\ 式中のxとyを入れ替えると図形的には\bm{直線y=xに関して対称なグラフ}になる. \\[.2zh] よって,\ y^2=4pxとx^2=4pyは直線y=xに関して対称な関係にある. \\[1zh] 中学生の頃から慣れ親しんできた放物線が,\ 軌跡という観点から新たに定義できたわけである. y^2=4\left(-\bunsuu12\right)x} より \bm{焦点\left(-\bunsuu12,\ 0\right), 準線\ x=\bunsuu12}$ \\\\  (2)\ \ $\textcolor{red}{x^2=4\cdot2\cdot y} より \bm{焦点(0,\ 2), 準線\ y=-\,2}$ \\\\  (3)\ \ $\textcolor{red}{(y-1)^2=4\cdot1\cdot(x+2)} より \bm{焦点(-\,1,\ 1), 準線\ y=-\,3}$ \\\\\\ (1)\ \ 標準形y^2=4pxの形に無理矢理にでも変形することでpがわかり,\ 焦点と準線がわかる. \\[.2zh]   y^2=4pxとy^2=-\,2xを見比べ,\ 4p=-\,2からpを求めてもよい. \\[.2zh]   放物線は\bm{頂点とその他の1点で一意に定まる.}\ よって,\ 頂点の原点以外に簡単な1点をとる. \\[.2zh]   ついでに対称点もとると図示しやすい.\ 焦点と準線が問われた場合はそれも図示する. \\[1zh] (2)\ \ 標準形x^2=4pyの形に変形する.\ 結局は2次関数\ y=\bunsuu18x^2\ を描くだけである. \\[1zh] (3)\ \ 一般に,\ x\,→\,x-a,\ y\,→\,y-b\ とすると,\ x軸方向にa,\ y軸方向にb平行移動したグラフになる. \\[.2zh]   \bm{(y-b)^2=4p(x-a)}\ の形に変形し,\ y^2=4pxからの平行移動量を確認する. \\[.2zh]   本問は,\ y^2=4x\,のグラフをx軸方向に-\,2,\ y軸方向に1平行移動したものとわかる. \\[.2zh]   頂点(0,\ 0),\ 焦点(1,\ 0),\ 準線x=-\,1のy^2=4xを(-\,2,\ 1)平行移動したグラフを描く. \\[.2zh]   (y-b)^2=4p(x-a)への変形は要は\bm{平方完成}だが,\ 慣れないと難しく感じるかも知れない. \\[.2zh]   その場合は次のように考えて図示すればよい.\ 普段のx軸とy軸を入れ替えただけである. \\[.2zh]   x=\bunsuu14y^2+\bunsuu12y-\bunsuu74=\bunsuu14(y-1)^2-2 より 頂点(y,\ x)=(1,\ -\,2)の放物線